Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки определяется из выражения:
а) Примем площади равновеликих ( по условию) треугольников АМО и NСO равными m, а площадь ∆ МОС=k. Тогда S(АМС)=m+ k, S(NMC)=m+k, ⇒ S(АМС)=S(NMC). Оба эти треугольника имеют общее основание МС, следовательно, их высоты (на рисунке они выделены красным цветом) равны. ⇒ расстояние между точками А и N и прямой МС равны ⇒ МС||АN. Доказано.
б) На основании параллельности ВС║MN║AD и MC║AN с общими секущими ∆ МВС~ ∆ АMN. Из подобия следует отношение а:MN=МС:АС. Аналогично ∆ МСN~∆AND ⇒ MN:b=MC:AC, из чего следует а:MN=MN:b и MN²=ab, ⇒ MN=√ab
Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) – координаты первой, второй и третьей точки соответственно. Тогда уравнение плоскости, проходящей через эти точки определяется из выражения:
(x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) – (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) – (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) – (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.
Подставив координаты точек в это выражение, получаем уравнение плоскости через точки М₁М₂М₃: 3x +4y - 3z - 2 = 0.
Это же уравнение можно получить через определитель:
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
x - xA y - yA z - zA
xB - xA yB - yA zB - zA
xC - xA yC - yA zC - zA = 0
Подставим данные и упростим выражение:
x - 1 y - 2 z - 3
(-1) - 1 2 - 2 1 - 3
3 - 1 (-1) - 2 1 - 3 = 0
x - 1 y - 2 z - 3
-2 0 -2
2 -3 -2 = 0
(x - 1) 0·(-2)-(-2)·(-3) - (y - 2) (-2)·(-2)-(-2)·2 + (z - 3) (-2)·(-3)-0·2 = 0
(-6) x - 1 + (-8) y - 2 + 6 z - 3 = 0
- 6x - 8y + 6z + 4 = 0
3x + 4y - 3z - 2 = 0.
ответ: MN=√ab
Объяснение:
Рассмотрим рисунки приложения.
а) Примем площади равновеликих ( по условию) треугольников АМО и NСO равными m, а площадь ∆ МОС=k. Тогда S(АМС)=m+ k, S(NMC)=m+k, ⇒ S(АМС)=S(NMC). Оба эти треугольника имеют общее основание МС, следовательно, их высоты (на рисунке они выделены красным цветом) равны. ⇒ расстояние между точками А и N и прямой МС равны ⇒ МС||АN. Доказано.
б) На основании параллельности ВС║MN║AD и MC║AN с общими секущими ∆ МВС~ ∆ АMN. Из подобия следует отношение а:MN=МС:АС. Аналогично ∆ МСN~∆AND ⇒ MN:b=MC:AC, из чего следует а:MN=MN:b и MN²=ab, ⇒ MN=√ab