Если прямая (DC), параллельна какой-нибудь прямой (AB), расположенной в плоскости (α), то она параллельна самой плоскости. Если плоскость проходит через прямую (DC), параллельную другой плоскости (α), и пересекает эту плоскость, то линия пересечения (EF) параллельна первой прямой (DC). Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α. Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3. Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°. Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
Расстояние от прямой DC до плоскости α - это перпендикуляр из любой точки этой прямой на плоскость α.
Итак, в прямоугольном треугольнике АЕD катет АЕ равен по Пифагору
АЕ=√(AD²-DE²)=√(36²-18²)=18√3.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями равен углу между прямыми, по которым они пересекаются с любой плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. То есть угол между плоскостью α и плоскостью квадрата - это угол EAD, cинус которого равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: Sinβ=ED/AD=18/36=1/2. Значит угол между плоскостями равен 30°.
Площадь проекции квадрата на плоскость α - это площадь прямоугольника AEFB, равная S=AB*AE=36*18√3=648√3см²
1.)
Используем теорему синусов для определения длины АС.
АС / Sinα = BC / Sinβ.
AC = BC * Sinα / Sinβ = a * Sinα / Sinβ см.
Определим величину угла АСВ.
Угол АСВ = (180 – (α + β)).
Вычислим площадь треугольника АВС.
Sавс = АС * ВС * SinACB / 2 = (a * Sinα / Sinβ) * a * Sin(α + β) / 2 = a2 * Sinα * Sin(α + β) / 2 * Sinβ см2.
Радиус описанной окружности будет равен:
R = BC / 2 * SinBAC = a / 2 * Sinα см.
ответ:Площадь треугольника равна a2 * Sinα * Sin(α + β) / 2 * Sinβ см2, радиус описанной окружности равен a / 2 * Sinα см.
2.)У параллелограмма противоположные стороны равны, тогда АВ = СД 4 см, ВС = АД = 5 * √2 см.
Из треугольника АВД, по теореме косинусов, определим длину диагонали ВД.
ВД2 = АВ2 + АД2 – 2 * АВ * АД * Cos45 = 16 + 50 – 2 * 4 * 5 * √2 * √2 / 2 = 66 – 40 = 26.
ВД = √26 см.
Сумма соседних углов параллелограмма равна 1800, тогда угол АВС = 180 – 45 = 1350.
Из треугольника АВС, по теореме косинусов, определим длину диагонали АС.
АС2 = АВ2 + ВС2 – 2 * АВ * ВС * Cos135 = 16 + 50 – 2 * 4 * 5 * √2 * (-√2 / 2) = 66 + 40 = 106.
AC = √106 cм.
Определим площадь параллелограмма.
Sавсд = АВ * АД * Sin45 = 4 * 5 * √2 * √2 / 2 = 20 см2.
ответ: Площадь параллелограмма равна 20 см2, диагонали равны √26 см, √106 см.