Если провести через точку A прямую параллельно BC, то она пересечет BD в точке K таким образом, что AK = AB. Это потому, что ∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а ∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса получилось, что треугольник AKB - равнобедренный. Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K. Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.
Для этого нужно сделать чертёж и провести диагонали. Диагональ BD будет средней линией треугольников ABD и BCD, а диагональ AC - средней линией треугольников ACD и ABC, напрашивается, что PM=KN, PK=MN, раз эти линии - средние линии треугольников, значит, они параллельны своим диагоналям, так PM параллельно AC, KN параллельно AC, следовательно, PM параллельно KN, тоже самое и с парой PK и MN, раз стороны четырёхугольника PMNK попарно равны и параллельны, следовательно, этот четырёхугольник - параллелограмм.
∠AKB = ∠DBC; это - внутренние накрест лежащие углы; а
∠DBC = ∠ABD; так как BD - биссектриса
получилось, что треугольник AKB - равнобедренный.
Теперь понятно, что для того, чтобы прямая AD пересекла BС в точке C за точкой D, то есть чтобы существовал треугольник ABC, нужно, чтобы точка D лежала ближе к B, чем K.
Отсюда ∠ADB > ∠AKB = ∠ABD; и AB > AD; так как напротив большего угла в треугольнике лежит большая сторона.