Построить образ трапеции abcd при повороте вокруг точки d на угол 90 градусов по часовой стрелке докажите, что прямая содержащая середины двух параллельных хорд окружности проходит через её центр докажите, что прямая содержащая середины противоположных сторон параллелограма проходит через точку пересечения на диагоналей

Показать ответ

Ответ:

Miss4455

19.10.2022 20:33

Введем дополнительные обозначения:
Пусть окружность касается стороны CD в точке К, ОЕ1 и ОЕ2 - высоты трапеции АОQD
a) по условию АВ-диаметр окружности, значит АО=ОВ=R
ABCD - равнобедренная трапеция, следовательно ∠ВАD=∠CDA и AB=CD=2R
Если Q - середина CD, то ОQ - средняя линия трапеции. Следовательно AO=OB=CQ=QD=R
Также АО=ОН=R, то есть ΔАОН-равнобедренный, значит
∠ВАD=∠OHA
При этом ∠ВАD=∠CDA, следовательно ∠OHA=∠CDA, значит эти углы соответственные при параллельных прямых ОН и DQ и секущей АD.
Итак, ОН=QD и ОН || QD, следовательно DQOH-параллелограмм.

б) ∠ВАD=∠OHA=60°
∠АОН=180°-(∠ВАD+∠OHA)=180°-(60°+60°)=60° - ΔАОН - равносторонний, следовательно АН=R
∠ABC=∠BCD=180°-60°=120°
Если окружность касается CD, то ∠OKC=90° и ОК=R
Сумма всех углов в четырехугольнике равна 360°
∠ВОК=360°-(∠ОВС+∠OKC+∠DCK)=360°-(120°+90°+120°)=30°
Если ОQ -средняя линия трапеции, то OQ || AD, следовательно
∠BAD=∠BOQ=60°
∠KOQ=∠BOQ-∠ВОК=60°-30°=30°
ΔOQK -прямоугольный с прямым углом OKQ
$cos30= \frac{OK}{OQ} \\ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{R}{OQ} \\ OQ= \frac{2R}{ \sqrt{3} }$
OQ=HD- так как DQOH-параллелограмм
$AD=AH+HD=R+ \frac{2R}{ \sqrt{3} }$
средняя линия трапеции =(а+в)/2
$OQ=( BC+AD )/2 \\ \frac{2R}{ \sqrt{3} } =(2+R+ \frac{2R}{ \sqrt{3} }) /2= \frac{2 \sqrt{3}+R \sqrt{3}+2R}{ \sqrt{3}} /2 \\ \frac{2R}{ \sqrt{3} }=\frac{2 \sqrt{3}+R \sqrt{3}+2R}{ 2\sqrt{3}}|*2 \sqrt{3} \\ \\ 4R=2\sqrt{3} +R\sqrt{3} +2R \\ 2R-R\sqrt{3} =2\sqrt{3} \\ R(2-\sqrt{3} )=2\sqrt{3} \\ \\ R= \frac{2\sqrt{3} }{2-\sqrt{3} } = \frac{2\sqrt{3}(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}= \frac{4\sqrt{3}+2*3}{2 ^{2} -\sqrt{3}^{2} } = \frac{4\sqrt{3}+6}{4-3 }=4\sqrt{3}+6$
$AD=AH+HD=R+ \frac{2R}{ \sqrt{3} } =R+\frac{2R \sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{3}} = \frac{3R}{3} + \frac{2\sqrt{3}R}{3} = \frac{3R+2\sqrt{3}R}{3} = \\ \frac{3(4\sqrt{3}+6)+2 \sqrt{3} (4\sqrt{3}+6)}{3} = \frac{12 \sqrt{3}+18+24+12 \sqrt{3} }{3} = \frac{24 \sqrt{3}+42 }{3} =8 \sqrt{3} +14 \\ OTBET: 8 \sqrt{3} +14$

Решите,мне нужно с рисунком. ☺дана равнобедренная трапеция abcd с основаниями ad и bc. окружность с