Постройте треугольник по стороне и проведённой к ней высоте, если известно, что эта сторона видна из центра вписанной в треугольник окружности под углом `135^@`.

Через сторону АД ромба АВСД проведена плоскость альфа, удаленная от ВС на расстояние, равное 3√ 3 см. Сторона ромба-12 см, угол ВСД=30º. Найдите угол между плоскость ромба и плоскостью альфа

 ВС ║АД, ⇒ ВС║α

АД ∈ плоскости α, и расстояние от ВС до плоскости равно длине отрезка их общего перпендикуляра (свойство). 

Угол между плоскость ромба и плоскостью α -двугранный угол, и его величина определяется градусной мерой линейного угла. 

В данном случае это величина угла, который получится, если из точки Н к АД— линии пересечения  плоскости ромба и плоскости альфа, —провести перпендикуляры в обеих плоскостях. 

Пусть Н - основание высоты ромба, проведенной из В к АД, а НМ перпендикуляр к АД в плоскости альфа. (см. рисунок)

Искомый угол - угол МНВ. 

В треугольнике АВД высота  ВН как катет,  противолежащий углу 30º,  равна половине гипотенузы АВ.

ВН=АВ:2=12:2=6 см

В ∆ ВМН  катет ВМ противолежит искомому углу ВНМ. 

sin∠ВНМ=ВМ:ВН=(3√3):6=(√3):2 - это синус угла 60º

Угол  между плоскость ромба и плоскостью альфа равен 60º.

1) Треугольник получается равнобедренный, в котором АС и ВС - боковые стороны, АВ - основание.
Проведем высоту СН. У нас получится прямоугольный треугольник СНА, где угол Н - прямой.
В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является и биссектрисой и высотой.
Значит ВН=НА=16/2=8
Далее по теореме Пифагора находим СН.
СН = кв. корень (10*10-8*8) = 6

Синус А = СН/СА = 6/10 = 3/5

2) Треугольник получается равнобедренный, в котором АС и ВС - боковые стороны, АВ - основание.
Проведем высоту СН. У нас получится прямоугольный треугольник СНА, где угол Н - прямой.
В равнобедренном треугольнике высота проведенная к основанию является и биссектрисой и высотой.
Значит ВН=НА
СН = СВ*СинусВ = 10*0,8 = 8
ВН=НА=кв.корень (10*10-8*8) = 6
АВ = ВН+НА = 6+6 = 12