Повышенный уровень Вариант 3
1. Радиус основания конуса равен 5 см, образующая - 13 см. Площадь осевого сечения конуса равна:
a) 65 см2; б) 120 см2;
b) 30 см3; г) 60 см2.
2. Образующая конуса равна 10 см и составляет с основанием угол
arccos -. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
a) 20т см";
b) 40т см";
б) 10-/21т см2; г) 10т см2.
3. Площади оснований усеченного 2 конуса равны 49л см" и 169л см2, высота - 8 см. Найдите длину образующей усеченного конуса.
a) 12 см; б) 8 см;
b) 9 см; г) 10 см.
4. Радиус основания конуса равен 2 см, образующая - 6 см. Найдите центральный угол в развертке боковой поверхности конуса.
5.
5. Осевое сечение конуса - равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найдите высоту конуса.
Решение.
Треуг. АВС равнобедреннй, поскольку АВ = ВС, значит Угол ВАС = ВСА.
Угол САД = ВСА как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД и секущей АС. Значит ВАС = 30 градусов, т.е АС является биссектрисой угла ВАД. Тогда угол ВАД = 30 + 30 =60 градусов.
Углы ВАД и АВС являются внутренними односторонними при параллельных прямых ВС и АД и секущей АВ. А сумма внутренних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180 градусов.
Угол АВС = 180 - 60 = 120 градусов.
Поскольку трапеция равнобокая, то
угол ВАД = СДА = 60 градусов
угол АВС = ВСД = 120 градусов.
Раз изучаете вписанные и описанные окружности, наверняка уже знаете, что центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.
Знаете также и то, что
центр описанной окружности - в точке пересечения срединных перпендикуляров, проведенных к каждой из его сторон.
В равностороннем треугольнике все биссектрисы и высоты пересекаются в одной точке, и эта точка - центр и вписанной, и описанной окружности, так как высота равностороннего треугольника и есть срединный перпендикуляр к стороне. Почему - доказывать не стоит, наверняка знаете.
О том, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1- считая от вершины, Вы уже должны знать.
Вот на знании всех этих свойств и построено решение задачи.
Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от всех его сторон. Расстояние от нее до стороны - радиус вписанной окружности.
В равностороннем треугольнике это 1/3 медианы - и это и 1/3 биссектрисы и 1/3 высоты ( три в одном флаконе).
Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности - расстояние от точки пересечения высот до вершин треугольника, и это расстояние в два раза больше расстояния от точки пересечения биссектрис (высот) до стороны треугольника.
Итак, радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в два раза больше радиуса вписанной в него.
R=2r= 5*2=10 cм
См. рисунок в качестве иллюстрации.