В треугольнике ABC, периметр которого равен 20 см ,вписан круг. Отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC, размещенной между сторонами треугольника, равен 2,4 см. Найдите сторону AC.
Объяснение:
Пусть отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC будет МК , МК=2,4 см.
Пусть точки касания располагаются так :
А-Р-В ,А-Е-С , В-Н-С , М-О-К.
ΔВМК подобен ΔВАС по двум углам : ∠ВМК=∠ВАС как соответственные и ∠В- общий.
Поэтому Р(МВК):Р(АВС)=к=МК:АС.
Выразим 1)Р(МВК), 2)АС используя свойство отрезков касательных.
1)угол АСВ=44 по теории о парал.прямых
смежный угол ЕDA, ЕDС = 78, а по Т. о смеж.углах известно, что
сумма смеж.углов равна 180⇒
АDС = 180 - 78 = 102
теперь нам известно 2 угла из треугольника АDС (сумма углов равна 180), то есть, 180 - 44 - 102 = 34.
угол АСD = 34
но тут, чтобы узнать угол АСВ нужно 180-102 - 34= 44(так мы нашли его)
2) теперь можно найти угол ВАС:
тут опять же смеж.углы, то есть, 180-44=136
а по условию известно что секущая делит угол КАС пополам, ⇒ 136:2=68
3)теперь в треугольнике АВС нам известно 2угла
1угол= 68
2угол = 44
а сумма всех углов в треугольнике равна 180
и так мы можем узнать угол АВС ⇒
180-68-44=68
угол АВС = 68
угол АСВ=44
угол ВАС=68
В треугольнике ABC, периметр которого равен 20 см ,вписан круг. Отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC, размещенной между сторонами треугольника, равен 2,4 см. Найдите сторону AC.
Объяснение:
Пусть отрезок касательной проведенной к окружности параллельно стороне AC будет МК , МК=2,4 см.
Пусть точки касания располагаются так :
А-Р-В ,А-Е-С , В-Н-С , М-О-К.
ΔВМК подобен ΔВАС по двум углам : ∠ВМК=∠ВАС как соответственные и ∠В- общий.
Поэтому Р(МВК):Р(АВС)=к=МК:АС.
Выразим 1)Р(МВК), 2)АС используя свойство отрезков касательных.
1)Р(МВК)=2,4+МВ+ВК=
=2,4+(ВР-МР)+(ВН-КН)=
=2,4+(ВР-МО)+(ВН-КО)=
=2,4+(ВР+ВН)-(МО+КО)=
=2,4 +2ВР-2,4=2ВР.
Значит Р(МВК) =2ВР.
2)Р(АВС)=АВ+ВС+АС=
=(ВР+РА)+(ВН+НС)+АС=
=(ВР+АЕ)+(ВН+ЕС)+АС=
=(ВР+ВН)+(АЕ+ЕС)+АС=
=2ВР+2АС,
20=2ВР+2АС, 10=ВР+АС, ВР=10-АС.
Т.о Р(МВК):Р(АВС)=МК:АС ,
2ВР:20=2,4:АС,
АС*ВР=24 ( но ВР=10-АС), пусть АС=в ,
в(10-в)=24,
в²-10в+24=0, D=4 , в₁=4, в₂=6
АС=4см, Ас=6 см