Проведены касательные к окружности AB, BD и DE так, что A, C и E — точки касания. Длина ломаной ABDE равна 69 см.
Определи длину отрезка BD.

ответ: BD =
см.

Здесь нужно применить формулу нахождения площади через диагонали.
S=1/2 D1*D2* sinα, где D 1 и 2 - диагонали, альфа - угол между ними.
Теория:
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. 
Дано: АВСД - прямоугольник. О - точка пересечения диагоналей АС и ВД.
∠ВАС=5*∠CАД
Найти: S-?
Решение: ∠ВАС+∠САД=90°   5*∠САД+∠САД=90   6*∠САД=90   ∠САД=15°    ∠ВАС=75°
АВО - равнобедренный треугольник ∠А=∠В=75°. ∠С=180-(75+75)=30°.
Это и есть угол между диагоналями. Синус 30 град. = 1/2.
Теперь,   S=1/2 *6*6* 1/2=⇒  S=9

1. Нахождение длин ребер и координат векторов
                                                     x   y   z   Сум.квадр       Длина ребра
Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 12  -9 -2       229         15.13274595,
Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB} 4   22 -8      564           23.74868417,
Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA} 16 13 -10     525           22.91287847,
Вектор AD={xd-xA, yd-yA, zd-zA} -4   -6  5        77           8.774964387,
Вектор BD={xd-xB, yd-yB, zd-zB} -16  3   7        314        17.72004515,
Вектор CD={xd-xC, yd-yC, zd-zC} -20 -19 15     986         31.40063694.