Провести коло радіусом 3см з центром в точці О. Провести в цьому колі радіус ОА. На продовженні радіуса ОА позначити точку О1 таким чином щоб довжина відрізка ОО1=3см. Провести коло із центром в точці О1 і радіусом 2,5см. точки перетину цих двох кіл позначимо буквами С і Д. Сполучимо центри кіл відрізком ОО1. Точку перетину О1 і СД позначимо буквою М. Довести, що С перпендикулярно до ОО1 і довести , що точка М є серединою відрізка СД

Иными словами, нужно найти высоту конуса, объем которого равен объему шара, если диаметр шара равен диаметру основания конуса.
На самом деле часть металла теряется при переплавке, так что это не совсем точное условие. Лучше бы просто сказали, что объемы равны.
Пусть радиус шара и конуса равен R = D/2, он нам известен.
Высоту конуса H нужно найти.
Объем шара V = 4/3*pi*R^3
Объем конуса V = 1/3*pi*R^2*H
И эти объемы одинаковы.
4/3*pi*R^3 = 1/3*pi*R^2*H
Сокращаем
4R = H = 2D
Высота должна быть вдвое больше диаметра основания конуса.

Отрезки касательных из одной точки до точек касания с окружностью равны. 

Обозначим точки касания на АС -Р, на АВ-М, на ВС-К. 

Пусть КВ=а. 

Тогда КВ=МВ=а, АМ=АР=37-а. 

Катет АС=37-а+5=42-а.

Катет ВС=а+5.

Гипотенуза АВ=37.

По т.Пифагора 

АВ*=АС*+ВС²

Подставив найденные значения катетов и гипотенузы в это уравнение, получим квадратное уравнение 

2а²-74а+420. 

Решение этого уравнения дает два корня:  30 и 7, оба подходят, т.к. равны отрезкам АВ. 

Тогда АС=42-7=35, 

ВС=7+5=12

S ∆АВС=АС•BC:2=35•12:2=210 см²