Прямі ОА, ОВ, ОС, що не лежать в одній площині, перетинають дві паралельні площини α і β в точках M, N, K і M 1 , N 1 , K 1 відповідно. Точка О лежить між площинами α і β.
1) Обґрунтувати взаємне розміщення прямих MN і M 1 N 1 . 2) Обчислити сторони трикутника
M 1 N 1 K 1 , якщо MN = 8 см, NK = 5 см, MK = 10 см і ОК : OК 1 = 5 : 1.

АВСД - параллелограмм  

Из точки В проведено 2 перпендикуляра на стороны АД и СД  

Назовем их ВК и ВМ соответственно  

ВК = 6  

ВМ = 10  

СД = АВ (как стороны параллелограмма)  

Р = 2АВ + 2АД = 48  

АВ + АД = 24  

 Диагональ ВД делит параллелограм на равные по площади треугольники с высотами ВК и ВМ  

Площадь АВД = 1/2 * АД * ВК = 3 АД  

Площадь ДВС = 1/2 * ДС * ВМ = 5 ДС = 5 АВ  

сложим систему:  3 АД = 5 АВ    АВ + АД = 24    АВ = 24 - АД    3 АД = 5(24 - АД)    3 АД = 120 - 5 АД    8 АД = 120     АД = 15    АВ = 24 - 15 = 9    Разность между смежными сторонами параллелограмма равна 15 - 9 = 6

MN - средняя линия трапеции. Средняя линия проходит через центр вписанной окружности.

Отрезки касательных из одной точки равны, △BAC - равнобедренный. Параллельные линии отсекают от угла подобные треугольники. Средняя линия MN параллельна основаниям, основания параллельны BC, MN||BC => △MAN~△BAC, △MAN - равнобедренный. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе. Биссектриса в равнобедренном треугольнике является высотой и медианой, ∠BDO=90, BD=BC/2=a/2, MO=MN/2.

Радиус перпендикулярен касательной, ∠OBM=90.

Накрест лежащие углы при параллельных равны, ∠MOB=∠OBD.

△MOB~△OBD (по двум углам)

MO/OB=OB/BD <=> (MN/2)/r=r/(a/2) <=> MN=4r^2/a

В трапецию вписана окружность, h=2r.

S=MN*h =4r^2/a *2r =8r^3/a