Доказательство Пусть стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны: АВ / А₁В₁ = ВС / В₁С₁ = СА / С₁А₁ - (1) Докажем, что ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что угол А = углу А₁. Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого угол 1 = углу А₁, угол 2 = углу В₁. Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия трегольников, поэтому АВ / А₁В₁ = ВС₂ / В₁С₁ = С₂А / С₁А₁. Сравнивая эти равенства с равенствами (1), получаем: ВС = ВС₂, СА = С₂А. Треугольники АВС и АВС₂ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что угол А = углу 1, а так как угол 1 = углу А₁, то угол А = углу А₁. Теорема доказана.
Медиана треугольника может быть равна или больше высоты но никогда меньше. Равной она бывает в равнобедреном или равносторонем треугольнике. Перпендикуляр приведеный из какой нибудь точки к прямой меньше всякой наклонной проведенной из той же точки к этой прямой. В даном случае этой точкой является вершина из которой приведены медиана и высота. Если медиана проведена но в равнобедреном треугольнике она наклона к стороне к которой проведена. Высота перпендикулярна к основанию а медианна наклона. С высотой она состовляет прямоугольный треугольник и является в нем гепотенузой а гипотенуза всегда больше катета.
Пусть стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны:
АВ / А₁В₁ = ВС / В₁С₁ = СА / С₁А₁ - (1)
Докажем, что ΔАВС ~ ΔА₁В₁С₁. Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что угол А = углу А₁. Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого угол 1 = углу А₁, угол 2 = углу В₁. Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия трегольников, поэтому
АВ / А₁В₁ = ВС₂ / В₁С₁ = С₂А / С₁А₁.
Сравнивая эти равенства с равенствами (1), получаем: ВС = ВС₂, СА = С₂А. Треугольники АВС и АВС₂ равны по трем сторонам. Отсюда следует, что угол А = углу 1, а так как угол 1 = углу А₁, то угол А = углу А₁.
Теорема доказана.
Равной она бывает в равнобедреном или равносторонем треугольнике.
Перпендикуляр приведеный из какой нибудь точки к прямой меньше всякой наклонной проведенной из той же точки к этой прямой.
В даном случае этой точкой является вершина из которой приведены медиана и высота.
Если медиана проведена но в равнобедреном треугольнике она наклона к стороне к которой проведена. Высота перпендикулярна к основанию а медианна наклона. С высотой она состовляет прямоугольный треугольник и является в нем гепотенузой а гипотенуза всегда больше катета.