Прямая ом перпендикулярна к плоскости правильного треугольника abc и проходит через центр о этого треугольника, ом = а, ∠mco = φ. найдите: а) расстояние от точки м до каждой из вершин треугольника abc и до прямых ав, вс и сa; б) длину окружности, описанной около треугольника abc; в) площадь треугольника abc.
а)
б)
в)
Объяснения:
Пусть К, Н и Р - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно, тогда
АН⊥ВС, ВР⊥АС, СК⊥АВ (треугольник правильный, медианы, высоты и биссектрисы совпадают).
Центр О правильного треугольника АВС равноудален от вершин и от сторон треугольника, т.е.
АО = ВО = СО, КО = НО = РО, а эти отрезки - проекции соответствующих наклонных на плоскость треугольника, значит
МА = МВ = МС - расстояния от точки М до вершин
и МК = МН = МР - расстояния от точки М до сторон (МК⊥АВ, МН⊥ВС, МР⊥АС по теореме о трех перпендикулярах).
а) ΔМОС: ∠МОС = 90°,
___
____
Из прямоугольного треугольника МОК по теореме Пифагора:
___
____
б) СО - радиус описанной окружности. Тогда длина окружности:
_____
в)
Площадь правильного треугольника АВС: