Прямая проходит через точки а(3; -1; 0) и в(х; -7; 3) и параллельна плоскости . определить абсциссу точки в и направляющие косинусы построенной прямой.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
Длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой, называется расстоянием от этой точки к этой прямой.
#1.
Этим расстоянием будет являться отрезок BM, его длину нужно найти. Этот отрезок представляет собой катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°. По свойству прямоугольного треугольника такой катет будет равен половине гипотенузы, в данном случае – AM. AM = 26, следовательно BM = 13.
ответ: 13.
#2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника по его свойству должна быть равна 90°, тогда угол M + угол A = 90°, а так как угол M = 60°, то угол A = 30°. Нам требуется найти BM. BM – это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит BM = 1/2 × AM, а так как AM = 30, то BM = 15.
ответ: 15.
#5. Я прикрепил рисунок к заданию. Нам нужно будет найти расстояние от точки M до AB, то есть перпендикуляр MF. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, тогда угол B + угол A = 90°. Угол B = 60° по условию, значит угол A = 30°. Тогда MF = 1/2 AM, так как MF – катет, лежащий напротив угла в 30. AM по условию равно 8, значит MF = 4.
ответ: 4.
#6. Рисунок к заданию прикрепил. Так как требуется найти расстояние от точки M до отрезка AB, то нужно найти перпендикуляр ME. Это задание можно решить двумя :
#1. ME – перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника ABM, значит ME – высота. В треугольнике AMB два угла равны, значит треугольник равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, то есть ME – медиана. Есть свойство прямоугольного треугольника, которое гласит, что медиана, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, тогда ME = 1/2 × AB, а раз AB = 15 по условию, то ME = 7,5.
#2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, то есть угол A + угол B = 90°, а раз они равны, то угол A = углу B = 45°, тогда треугольник AMB – равнобедренный. ME – перпендикуляр, а значит треугольники AME и BME – прямоугольные. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, то есть угол BME + угол B = 90° и угол A + угол AME = 90°. Углы A и B = 45°, как мы уже убедились, значит углы BME и AME = 45°. Тогда треугольники AME и BME – равнобедренные, а значит в этих треугольниках боковые стороны равны. Тогда ME = AE и ME = BE. Треугольник AMB – равнобедренный, ME – высота, а значит ME – медиана, тогда AE = BE. Эти стороны образуют AB, которая равна 15, значит AE = BE = 7,5. А так как ME равна этим сторонам, то ME = 7,5.
Даны вершины треугольника A(−2,1), B(3,3), С(1,0). Найти:
а) длина стороны AB = √((3-(-2))² + (3-1)² = √(25 + 4) = √29.
б) уравнение медианы BM.
Находим координаты точки М как середины стороны АС.
М(((-2+1)/2; (1+3)/2) = (-0,5; 2).
Вектор ВМ = ((-0,5-3); (2-3)) = (-3,5; -1).
Уравнение ВМ: (х – 3)/(-3,5) = (у – 3)/(-1). Это в каноническом виде.
Оно же в общем виде 7у – 2х – 15 = 0.
И в виде уравнения с угловым коэффициентом у = (2/7)х + (15/7).
в) cos угла BCA.
Вектор СВ = ((1-3); (0-3)) = (-2; -3). Модуль равен √(4 + 9) = √13.
Вектор СА = ((1-(-2)); (0-1)) = (3; -1). Модуль равен √(9 + 1) = √10.
cos(BCA) = (-2*3 + (-3)*(-1))/( √13*√10) = -3/√130 ≈ -0,26312.
г) уравнение высоты CD.
Находим уравнение стороны АВ.
Вектор AB = ((3-(-2)); (3-1)) = (5; 2).
Уравнение АВ: (х + 2)/5 = (у -1)/2 или у = (2/5)х + (9/5).
Угловой коэффициент перпендикуляра к АВ (это высота СD) равен -1/(2/5) = -5/2. Подставим координаты точки С.
0 = (-5/2)*1 + b. Отсюда b = 5/2.
Уравнение CD: y = (-5/2)x + (5/2).
д) длина высоты СD.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = (A·Mx + B·My + C)/√A2 + B2
Подставим в формулу данные: координаты точки С(1; 0) и уравнение прямой АВ:
2х – 5у + 9 = 0.
d = (2·1 + (-5)·0 + 9)/√22 + (-5)2 = (2 + 0 + 9)/√4 + 25 =
= 11/√29 = 11√29/29 ≈ 2.0426487.
е) площадь треугольника АВС по векторам.
Если вершины треугольника заданы, как точки в прямоугольной декартовой системе координат: A1(x1,y1), A2(x2,y2), A3(x3,y3), то площадь такого треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:
S= ± (1 /2) *(x1−x3 y1−y3 )
(x2−x3 y2−y3 )
x1−x3 y1−y3
x2−x3 y2−y3
A(−2,1), B(3,3), С(1,0).
S = (1/2)}|((-2-1)*(3-0) – (1-0)*3-1))| = (1/2)*|(-9-2)| = 11/2 = 5,5 кв.ед.
Длина перпендикуляра, проведённого из данной точки к данной прямой, называется расстоянием от этой точки к этой прямой.
#1.
Этим расстоянием будет являться отрезок BM, его длину нужно найти. Этот отрезок представляет собой катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в 30°. По свойству прямоугольного треугольника такой катет будет равен половине гипотенузы, в данном случае – AM. AM = 26, следовательно BM = 13.
ответ: 13.
#2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника по его свойству должна быть равна 90°, тогда угол M + угол A = 90°, а так как угол M = 60°, то угол A = 30°. Нам требуется найти BM. BM – это катет, лежащий напротив угла в 30°, значит BM = 1/2 × AM, а так как AM = 30, то BM = 15.
ответ: 15.
#5. Я прикрепил рисунок к заданию. Нам нужно будет найти расстояние от точки M до AB, то есть перпендикуляр MF. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, тогда угол B + угол A = 90°. Угол B = 60° по условию, значит угол A = 30°. Тогда MF = 1/2 AM, так как MF – катет, лежащий напротив угла в 30. AM по условию равно 8, значит MF = 4.
ответ: 4.
#6. Рисунок к заданию прикрепил. Так как требуется найти расстояние от точки M до отрезка AB, то нужно найти перпендикуляр ME. Это задание можно решить двумя :
#1. ME – перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника ABM, значит ME – высота. В треугольнике AMB два угла равны, значит треугольник равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является медианой, то есть ME – медиана. Есть свойство прямоугольного треугольника, которое гласит, что медиана, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы, тогда ME = 1/2 × AB, а раз AB = 15 по условию, то ME = 7,5.
#2. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, то есть угол A + угол B = 90°, а раз они равны, то угол A = углу B = 45°, тогда треугольник AMB – равнобедренный. ME – перпендикуляр, а значит треугольники AME и BME – прямоугольные. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°, то есть угол BME + угол B = 90° и угол A + угол AME = 90°. Углы A и B = 45°, как мы уже убедились, значит углы BME и AME = 45°. Тогда треугольники AME и BME – равнобедренные, а значит в этих треугольниках боковые стороны равны. Тогда ME = AE и ME = BE. Треугольник AMB – равнобедренный, ME – высота, а значит ME – медиана, тогда AE = BE. Эти стороны образуют AB, которая равна 15, значит AE = BE = 7,5. А так как ME равна этим сторонам, то ME = 7,5.
ответ: 7,5.
Объяснение: