Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).
Доказательство.
Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – ( n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° ( n – 2).
радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. по теореме Пифагора гипотенуза равна корень из 12^2+5^2=13, R=1/2*13=6.5
чтобы найти радиус вписанной окружности воспользуемся формулойS=1/2*P*r,
проведём радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам треугольника. Точки касания делят каждую сторону треугольника на две части. Пусть одна часть гипотенузы х, тогда другая часть 13-х, по свойствам отрезков касательных отрезки одного катета 13-х и 12-(13-х)=х-1, х-1=2, так как около прямого угла образуется квадрат. х=3, гипотенуза разделилась на отрезки з и 13-3=10
расстояние от центра вписанной окружности до наименьшего угла равно корень из10^2+2^2= корень из104=2 корень из26
2) в 4хугольник можно вписать окружность если суммы противоположных сторон равны, поэтому сумма боковых сторон равна сумме оснований 1+9=10. Так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то каждая будет 10:2=5
проведём две высоты. Они разделили трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Большее основание разделится на отрезки длиной 1 и (9-1):2=4 тогда из прямоугольного треугольника h= корень из5^2-4^2=3, r=h:2=3:2=1.5 диагональ трапеции найдём по теореме косинусов d= корень из 5^2+1^2-2*5*1*cosa косинус острого угла равен 4/5, тогда cos a=-4/5, d= корень из25+1+10*4/5= корень из34
3) угол C=180-(59+26)=95градусов. Биссектриса CK делит угол С на углы по 47градусов 30минут По теореме синусов 8,2/sin26=AK/sin47 30 AK=8.2*0.7373/0.4384=13.79,
Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2).
Доказательство.
Для доказательства теоремы о сумме углов выпуклого многоугольника воспользуемся уже доказанной теоремой о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусам.
Пусть A 1 A 2... A n – данный выпуклый многоугольник, и n > 3. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают его на n – 2 треугольника: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сумма углов многоугольника совпадает с суммой углов всех этих треугольников. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а число треугольников – ( n – 2). Поэтому сумма углов выпуклого n -угольника A 1 A 2... A n равна 180° ( n – 2).
радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. по теореме Пифагора гипотенуза равна корень из 12^2+5^2=13, R=1/2*13=6.5
чтобы найти радиус вписанной окружности воспользуемся формулойS=1/2*P*r,
P=12+5+13=30, S=1/2*12*5=30, 1/2*30*r=30, r=2*30/30=2
проведём радиусы в точки касания, они перпендикулярны сторонам треугольника. Точки касания делят каждую сторону треугольника на две части. Пусть одна часть гипотенузы х, тогда другая часть 13-х, по свойствам отрезков касательных отрезки одного катета 13-х и 12-(13-х)=х-1, х-1=2, так как около прямого угла образуется квадрат. х=3, гипотенуза разделилась на отрезки з и 13-3=10
расстояние от центра вписанной окружности до наименьшего угла равно корень из10^2+2^2= корень из104=2 корень из26
2) в 4хугольник можно вписать окружность если суммы противоположных сторон равны, поэтому сумма боковых сторон равна сумме оснований 1+9=10. Так как в равнобедренной трапеции боковые стороны равны, то каждая будет 10:2=5
проведём две высоты. Они разделили трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Большее основание разделится на отрезки длиной 1 и (9-1):2=4 тогда из прямоугольного треугольника h= корень из5^2-4^2=3, r=h:2=3:2=1.5 диагональ трапеции найдём по теореме косинусов d= корень из 5^2+1^2-2*5*1*cosa косинус острого угла равен 4/5, тогда cos a=-4/5, d= корень из25+1+10*4/5= корень из34
3) угол C=180-(59+26)=95градусов. Биссектриса CK делит угол С на углы по 47градусов 30минут По теореме синусов 8,2/sin26=AK/sin47 30 AK=8.2*0.7373/0.4384=13.79,
8.2/sin59=KB/sin47 30, KB=8.2*0.7373/0.8572=7.05, AB= 7.05+13.79=20.84
по теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла рано удвоенному радиусу 8,2/sin26=2R, 2R=18.7, R=18.7:2=9.35, S=1/2*AB*BC*sinB,
BC/sin26=AB/sin95, BC=AB*sin26/sin95=20.84*0.4384/0.9962=9.17, S=1/2*20.84*9.17*0.8572=81.91