Пусть точки D и E это точки на сторонах AB и AC треугольника ABC причем DB=BC=CE . Пусть прямые CD и BE пересекаются в точке F . Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC , ортоцентр треугольника DEF и середина дуги BAC описанной окружности треугольника ABC лежат на одной прямой.

Объяснение:

Треугольник FAC и его ортоцентр - это центр вписанной окружности треугольника ABC

Объяснение: Автор задания не совсем удачно обозначил  центры вписанной и описанной окружностей. Обычно центр вписанной окружности  - это точка I, центр описанной - точка O.

С разрешения автора буду считать, что центр вписанной окружности - это I. Кстати, картинка не совсем удачная. Дело в том, что, как известно, на одной прямой (прямой Эйлера) находятся центр O описанной окружности, центроид (то есть точка G пересечения медиан)  и ортоцентр H. Центр же вписанной окружности лежит на этой прямой только если треугольник равнобедренный. Перехожу к решению.

Каждый из углов тр-ка ABC будем обозначать одной буквой - A, B, C. Значок градуса будем опускать. Из равнобедренного тр-ка EAC имеем: угол ECA=90-(A/2); из равноб. тр-ка ACD имеем: CAD=90-(C/2). Поэтому AFC=(A+C)/2. I лежит на биссектрисе угла BAC, то есть IAC=A/2, откуда DAI=DAC-IAC=90-(A+C)/2. То есть AFC+FAI=90, откуда AI перпендикулярно FC. Аналогично CI перпендикулярно  AF. Следовательно, центр вписанной окружности треугольника ABC является по совместительству - ортоцентром треугольника FAC.