Радиус окружности , описанной около квадрата, равен 8 . Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Чтобы найти ОQ, нужно доказать, что центр Q окружности, вписанной в ΔAMN , лежит на вписанной окружности ΔABC . Отметим точку Е на меньшей дуге MN вписанной окружности ΔABC так, что дуга МЕ равна дуге NE.
Т.к. угол между касательной АМ и хордой МЕ, проведенной в точку касания M, равен половине дуги МЕ, стягиваемой этой хордой (теорема об угле между касательной и хордой), то <АМЕ=дуга МЕ/2. Аналогично <АNЕ=дуга NЕ/2=дуга МЕ/2.
Т.к.вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается,
 то <MNE=дуга МЕ/2 и <NМЕ=дуга NЕ/2=дуга МЕ/2.
Значит <AME=<АNЕ=<MNE=<NME.
Следовательно, МЕ - биссектриса угла AMN, а NЕ - биссектриса угла ANM.
Точка Е пересечения биссектрис ΔAMN является центром вписанной в треугольник окружности, а это означает, что она совпадает с точкой Q. ОQ является радиусом вписанной окружности в ΔАВС:
OQ=R=√(p-АВ)(p-ВС)(р-АС)/р
полупериметр р=(АВ+ВС+АС)/2=(13+15+14)/2=21.
Тогда OQ=√(21-13)(21-15)(21-14)/21=√8*6*7/21=√16=4.

Пусть есть трапеция ABCD AB=CD=4 дм и есть две высоты BK и CF. Рассмотрим прямоугольник KBCF по определению прямоугольник это параллпараллелограмм с 1 прямым углом а внем BC=KF=5дм и BK=CF. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADK и DCF в них AB=CD и BK=CF => треугольник ABK=треугольнику DCF (по гипотенузе и катету) а в равных треугольниках соответственные стороны равны AK=FD=x. AD=x+x+KF => 11дм-5дм=2x => x=6дм÷2=3дм. Рассмотрим треугольник ABK по теореме пифагора AB^2=AK^2+BK^2 => BK=√(AB^2-AK^2) BK=√(^16дм-9дм)=√7. ответ:BK=√7 дм