Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен 4√3 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот же треугольник, периметр данного правильного треугольника, площадь данного правильного треугольника и сторону квадрата, вписанного в данную окружность

ответ: 8√3 (ед. площади)

Вариант решения.

Правильный шестиугольник состоит из 6 равных правильных треугольников, его внутренний угол 120°.

Диагонали, соединяющие вершины через одну, равны, отсекают равные треугольники.

∆ FED - равнобедренный, ⇒ ∠DFE=∠FDE=(180°-120°):2=30°.

ВF║CE, ∆ FKE- прямоугольный, из суммы углов треугольника ∠FKE=60°.⇒

FK=FE:sin60°=(2√3):√3/2=4

На том же основании FL=LC=CK=4

В четырехугольнике LCKF ∠LFK=120°-2•30°=60°

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

Ѕ(LCKF)=4•4•√3/2=8√3

Объяснение:

считаем что точки являются концами диаметра

координаты центра окружности будут серединой отрезка АВ

по формуле координат середины отрезка

x₀=(x₁+x₂)/2

y₀=(y₁+y₂)/2

x₀=(-3+0)/2=-1,5

y₀=(2-2)/2=0

по формуле расстояния между двумя точками

AB=√((x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²)=√((-3-0)²+(2+2)²)=√(9+16)=√25=5

R=AB/2=5/2=2.5

уравнение окружности с центром в точке (x₀;y₀) и радиуса R

(x-x₀)²+(y-y₀)²=R²

В нашем случае x₀=-1,5;  y₀=0 ; R=2.5

уравнение окружности

(x+1.5)²+y²=2.5²  или

(x+1.5)²+y²=6.25

проверка

(-3+1.5)²+2²=1.5²+2²=2.25+4=6.25

(0+1.5)²+(-2)²=1.5²+2²=2.25+4=6.25