Радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон AB и AC треугольника ABC, равны 5 и 20 соответственно. Найдите длину высоты, проведённой из вершины A.
1) ΔАВС: ∠А=30°. значит ∠АВС=60°. ВD - биссектриса. ∠АВD=∠СВD=30° ΔАВD - равнобедренный; АD=ВD=8. ΔВСD.СD лежит против ∠СВD=30°. СD=0,5ВD=0,5·8=4. ВС²=ВD²- СD²=64-16=48; ВС=√48=4√3. АС=АD+СD=8+4=12. Площадь ΔАВС=0,5·АС·ВС=0,5·12·4√3=24√3. 2) Пыстт=ь одна часть равна х. тогда АС=24х; АВ=25х По свойству биссектрисы треугольника СD/ВD=АС/АВ, ВС=24+25=49. ΔАВС. АВ² - АС² = ВС², 625х² + 576х² = 2401, 49х² = 2401, х²=49, х=7. АВ=25х=25 · 7=175. 3) ΔАВD. ВD в равнобедренном треугольнике одновременно является биссектрисой, высотой и медианой. ∠АD90°. ∠ВАD=90-60=30°. ВD - катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, ВD=10/2=5 м.
Находим координаты необходимых точек:
Координаты точки В: x y z
0 0 0,
Координаты точки О 0.5 0.5 0,
Координаты точки А1 1 0 1,
Координаты точки Д 1 1 0.
По этим координатам определяем координаты векторов:
х у z Длина
Вектор ВО 0.5 0.5 0 0.70711 = √2/2,
Вектор А1Д 0 1 -1 1.41421 = √2.
Находим косинус угла между векторами:
Данному косинусу соответствует угол 60 градусов.
ΔАВD - равнобедренный; АD=ВD=8.
ΔВСD.СD лежит против ∠СВD=30°. СD=0,5ВD=0,5·8=4.
ВС²=ВD²- СD²=64-16=48; ВС=√48=4√3.
АС=АD+СD=8+4=12.
Площадь ΔАВС=0,5·АС·ВС=0,5·12·4√3=24√3.
2) Пыстт=ь одна часть равна х. тогда АС=24х; АВ=25х
По свойству биссектрисы треугольника СD/ВD=АС/АВ, ВС=24+25=49.
ΔАВС. АВ² - АС² = ВС²,
625х² + 576х² = 2401,
49х² = 2401,
х²=49, х=7.
АВ=25х=25 · 7=175.
3) ΔАВD. ВD в равнобедренном треугольнике одновременно является биссектрисой, высотой и медианой. ∠АD90°.
∠ВАD=90-60=30°. ВD - катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы, ВD=10/2=5 м.