1. MD = DE по условию, PD = DK по условию, ∠MDK = ∠EDP как вертикальные, ⇒ ΔMDK = ΔEDP по двум сторонам и углу между ними. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит ∠KMD = ∠PED.
2. DM = DK по условию, РМ = РК по условию, DP - общая сторона для треугольников DMP и DKP, ⇒ ΔDMP = ΔDKP по трем сторонам. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит ∠MDP = ∠KDP, следовательно DP - биссектриса угла D.
3. Начертим окружность с центром в точке А произвольного радиуса (большего, чем расстояние до прямой ВС). Точки пересечения этой окружности с прямой ВС - К и М. Начертим две окружности одинакового произвольного радиуса (большего половины отрезка КМ) с центрами в точках К и М. Через точки пересечения этих окружностей (Е и F) проводим прямую. EF ∩ BC = H. АН - искомая высота.
Прямая EF всегда пройдет через точку А, так как является серединным перпендикуляром к отрезку КМ, а точка А равноудалена от концов этого отрезка, а значит лежит на серединном перпендикуляре.
АВ * АС = 54;
АD * DB = -18;
(AВ + AD) (AB - AD) = 0
Смотри рисунки на прикреплённом фото.
рис. а) ∠А и ∠В ромба - односторонние. Сумма односторонних углов ромба равна 180°. ∠В = 180° - ∠А = 180° - 60° = 120°.
рис. б) Найдём величину АС по теореме косинусов.
рис. в) Диагональ DВ делит углы ромба ∠В и ∠D пополам, поэтому ∠АВD = ∠ADB = 60°, и ΔABD -равносторонний, то есть DB = AD = AB = 6
рис г) 1) Найдём скалярное произведение векторов АВ и АС.
рис д) 2) Найдём скалярное произведение векторов AD и DB.
рис. е) Сложим векторы АВ и АD
рис. ж) Найдём разность векторов АВ и AD
рис з) 3) Найдём произведение суммы и разности векторов АВ и АD
PD = DK по условию,
∠MDK = ∠EDP как вертикальные, ⇒
ΔMDK = ΔEDP по двум сторонам и углу между ними.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит
∠KMD = ∠PED.
2. DM = DK по условию,
РМ = РК по условию,
DP - общая сторона для треугольников DMP и DKP, ⇒
ΔDMP = ΔDKP по трем сторонам.
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, значит ∠MDP = ∠KDP, следовательно
DP - биссектриса угла D.
3. Начертим окружность с центром в точке А произвольного радиуса (большего, чем расстояние до прямой ВС). Точки пересечения этой окружности с прямой ВС - К и М.
Начертим две окружности одинакового произвольного радиуса (большего половины отрезка КМ) с центрами в точках К и М.
Через точки пересечения этих окружностей (Е и F) проводим прямую.
EF ∩ BC = H. АН - искомая высота.
Прямая EF всегда пройдет через точку А, так как является серединным перпендикуляром к отрезку КМ, а точка А равноудалена от концов этого отрезка, а значит лежит на серединном перпендикуляре.