Равнобедренные треугольники ABC и ADC имеют общее основание. Точки Ви D лежат в разных по-
Дуплоскостях относительно прямой Ас. Докажи-
те, что:
1) лучи BD и DB являются биссектрисами углов.
ABC и ADC; ;
2) BDIAC.
- Дано: |_
BAD = 46°, |_ADC = 105°.
Вычислите градусные меры углов:
1) CAD,
2) BDM.
B
46
D
M
A
105
с
Катет, лежащий напротив угла 30 град равен половине гипотенузы. Гипотенузу АВ принимаем за Х, тогда катет ВС=Х/2.
S=АС*ВС / 2, т.е. 1058 корень из 3 = АС*ВС / 2. Находим АС по т.Пифагора: АС^2= АВ^2 - ВC^2= Х^2 - (Х/2)^2= Х^2 - Х^2 / 4. Отсюда, АС = Х*корень из 3 / 2. Теперь в формулу площади (см.выше) подставляем полученное значение АС и ВС. Преобразовав, получаем уравнение: корень из 3 * Х^2 / 8 = 1058 корень из 3. Отсюда, Х^2 = 8464, Х = -92 и Х = 92. Х= -92 не удовлетворяет условию, т.к. сторона не может иметь отрицательное значение длины, поэтому отбрасываем это значение. Итак, за Х мы принимали гипотенузу АВ, т.е.АВ=92, значит, катет ВС=Х/2 = 92/2=46.
Тогда т.к. cos(ABC)=1/2, то по т. косинусов b²=a²+c²-aс.
Кроме того, a²+c²=(a+c)²-2ac=(P-b)²-2ac, значит подставляя это в т. косинусов, получим b²=(P-b)²-2ac-aс, откуда ac=((P-b)²-b²)/3=(P-2b)P/3.
Значит площадь S треугольника ABC равна
S=(1/2)*ac*sin(60°)=(P-2b)P/(4√3)=P*r/2, откуда
r=(P-2b)/(2√3)=(15-2·6)/(2√(3π))=√3/(2√π).
Значит площадь вписанного круга равна π·r²=π·3/(4π)=3/4.
более короткий).
Если обозначить через x,y,z отрезки на которые точки касания вписанной окружности разбивают стороны треугольника, то получим x+y+z=P/2 и x+y=b, откуда z=P/2-b. Т.к центр впис. окружности лежит на биссектрисе угла в 60 градусов, то r=z·ctg(30°)=(P-2b)/(2√3).