Развертка боковой поверхности цилиндра есть прямоугольник , диагональ которого пересекаются под углом a и равны d найти v

Vцилиндра = pi * R² * H
H -- ширина развертки
длина развертки -- длина окружности-основания цилиндра = 2*pi*R
известна формула: площадь параллелограмма = половине произведения диагоналей на синус угла между ними)))
прямоугольник -- частный случай параллелограмма...
его S = d² * sina / 2 = H * (2*pi*R) -- площадь прямоугольника = произведение длины на ширину)))
H * pi * R = d² * sina / 4
осталось "найти" радиус --выразить через d и a)))
диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам...
получим равнобедренный треугольник с основанием (2*pi*R) и боковыми сторонами=половинам диагоналей, угол в этом треугольнике при вершине = (180-а) 
проведем в нем высоту (которая будет и биссектрисой и медианой)))...
из получившегося прямоугольного треугольника:
2*pi*R = d * cos(a/2)
V = pi * R * H * R = d² * sina * d * cos(a/2) / (8*pi) = d³ * sina * cos(a/2) / (8*pi) 
можно еще записать: cos(a/2) = √((1+cosa) / 2)

R- радиус окружности основания цилиндра
h-высота цилиндра
L-длина окружности основания цилиндра
V-обьём цилиндра
α -угол между диагоналями прямоугольника
d-диагональ цилиндра

V=πr²h
L=2πr
L=d*cos(α/2)
2пr=d*cos(α/2)
r=(d*cos(α/2))/2π
h=d*sin(α/2)
V=π*((d*cos(α/2))/2π)²*dsin(α/2)=d³*sin(α/2)*cos²(α/2)/4π
sin(α/2)*cos(α/2)=(sin(α))/2
V=d³*sin(α)*cos(α/2)/8π

смотри рисунок