Для решения данной задачи нужно использовать формулу, которая связывает объем конуса с его высотой и радиусом основания. Формула для объема конуса выглядит следующим образом:
V = (1/3) * π * r² * h,
где V - объем конуса, π - число пи (приближенное значение 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.
В данном вопросе даны данные о развертке боковой поверхности конуса, которая является сектором с центральным углом 120°. Чтобы найти объем конуса, нам необходимо найти его высоту h.
1) Найдем длину окружности основания конуса. Для этого воспользуемся формулой для длины окружности:
C = 2 * π * r,
где C - длина окружности, r - радиус основания конуса.
В данном случае радиус основания равен 5, поэтому подставляем значение в формулу:
C = 2 * π * 5 = 10π.
2) Так как развертка боковой поверхности конуса - сектор с центральным углом 120°, то длина дуги этого сектора будет равна 120°/360° * C = 1/3 * C = 1/3 * 10π = (10/3)π.
3) Теперь мы знаем длину окружности основания конуса и длину дуги боковой поверхности конуса.
Длина окружности основания конуса равна длине дуги на высоте h.
Соотношение между длиной дуги и высотой для конуса одинаково на любой высоте и равно:
l = 2πr * (α/360) = C * (α/360),
где l - длина дуги на высоте h, α - центральный угол (для данной задачи, угол сектора с длиной дуги).
Получаем:
(10/3)π = C * (α/360).
4) Найдем высоту конуса, подставив известные значения:
(10/3)π = 10π * (α/360).
Упростим выражение:
(1/3) = α/360.
Перенесем переменную α влево, умножив обе части уравнения на 360:
α = (1/3) * 360 = 120.
Таким образом, центральный угол α равен 120°.
5) Теперь, когда мы знаем центральный угол и радиус основания конуса, мы можем использовать формулу для объема конуса:
V = (1/3) * π * r² * h.
Подставляем известные значения:
V = (1/3) * π * 5² * h.
Упростим выражение:
V = (1/3) * π * 25 * h.
Используя ранее найденное значение центрального угла:
V = (1/3) * π * 25 * 120°/360°.
Сократим 120°/360°:
V = (1/3) * π * 25 * 1/3.
Упростим выражение:
V = (25π/9).
Таким образом, объем конуса равен (25π/9). Ответом будет (25π/9) или приближенное значение 8.72664626 (округленное до восьми знаков после запятой).
V = (1/3) * π * r² * h,
где V - объем конуса, π - число пи (приближенное значение 3.14), r - радиус основания конуса, h - высота конуса.
В данном вопросе даны данные о развертке боковой поверхности конуса, которая является сектором с центральным углом 120°. Чтобы найти объем конуса, нам необходимо найти его высоту h.
1) Найдем длину окружности основания конуса. Для этого воспользуемся формулой для длины окружности:
C = 2 * π * r,
где C - длина окружности, r - радиус основания конуса.
В данном случае радиус основания равен 5, поэтому подставляем значение в формулу:
C = 2 * π * 5 = 10π.
2) Так как развертка боковой поверхности конуса - сектор с центральным углом 120°, то длина дуги этого сектора будет равна 120°/360° * C = 1/3 * C = 1/3 * 10π = (10/3)π.
3) Теперь мы знаем длину окружности основания конуса и длину дуги боковой поверхности конуса.
Длина окружности основания конуса равна длине дуги на высоте h.
Соотношение между длиной дуги и высотой для конуса одинаково на любой высоте и равно:
l = 2πr * (α/360) = C * (α/360),
где l - длина дуги на высоте h, α - центральный угол (для данной задачи, угол сектора с длиной дуги).
Получаем:
(10/3)π = C * (α/360).
4) Найдем высоту конуса, подставив известные значения:
(10/3)π = 10π * (α/360).
Упростим выражение:
(1/3) = α/360.
Перенесем переменную α влево, умножив обе части уравнения на 360:
α = (1/3) * 360 = 120.
Таким образом, центральный угол α равен 120°.
5) Теперь, когда мы знаем центральный угол и радиус основания конуса, мы можем использовать формулу для объема конуса:
V = (1/3) * π * r² * h.
Подставляем известные значения:
V = (1/3) * π * 5² * h.
Упростим выражение:
V = (1/3) * π * 25 * h.
Используя ранее найденное значение центрального угла:
V = (1/3) * π * 25 * 120°/360°.
Сократим 120°/360°:
V = (1/3) * π * 25 * 1/3.
Упростим выражение:
V = (25π/9).
Таким образом, объем конуса равен (25π/9). Ответом будет (25π/9) или приближенное значение 8.72664626 (округленное до восьми знаков после запятой).