Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте.
Формула радиуса вписанной окружности для тетраэдра
По этой формуле
Подробное решение.(см. рисунок вложения)
Обозначим пирамиду SABC, SH - высота пирамиды, SM - апофема.
ОН и ОК - радиусы вписанного шара,
Проведем сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. При этом сечение шара будет вписанной в угол SМA окружностью.
∆ SHM прямоугольный. НМ - радиус окружности, вписанной в основание АВС пирамиды.
НМ=АМ:3 ( радиус вписанной в правильный треугольник окружности),
Так как тетраэдр правильный и, все его грани - правильные треугольники, их апофемы равны высоте правильного треугольника со стороной √6.
SM=AM=√6•√3/2=
Радиус НМ вписанной в основание окружности равен AM/3=√2/2
КM=НM=
SK=SM-KM=3√2/2-√2/2=√2
∆SHM подобен ∆SKO ⇒
⇒
4r=2
r=0,5
Правильная треугольная пирамида - это пирамида, основанием которой является правильный треугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Центр шара, вписанного в правильную пирамиду, лежит на её высоте.
Формула радиуса вписанной окружности для тетраэдра
По этой формуле
Подробное решение.(см. рисунок вложения)
Обозначим пирамиду SABC, SH - высота пирамиды, SM - апофема.
ОН и ОК - радиусы вписанного шара,
Проведем сечение пирамиды и шара плоскостью, проходящей через апофему и высоту пирамиды. При этом сечение шара будет вписанной в угол SМA окружностью.
∆ SHM прямоугольный. НМ - радиус окружности, вписанной в основание АВС пирамиды.
НМ=АМ:3 ( радиус вписанной в правильный треугольник окружности),
Так как тетраэдр правильный и, все его грани - правильные треугольники, их апофемы равны высоте правильного треугольника со стороной √6.
SM=AM=√6•√3/2=
Радиус НМ вписанной в основание окружности равен AM/3=√2/2
КM=НM=
SK=SM-KM=3√2/2-√2/2=√2
∆SHM подобен ∆SKO ⇒
4r=2
r=0,5