1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если описать окружность вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы, а сама гипотенуза будет диаметром этой окружности. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Вершина A лежит на окружности, середина противолежащей стороны BC - точка О, центр окружности. Значит медиана AO - радиус описанной окружности. D = 60 см отсюда R = 30 см.
2. Биссектриса делит угол ABC на два равных угла по 45°, угол AHB = 65° ( по условию ), значит угол BAC = 180 - ( 45 + 65 ) = 70°.
1) Первая задача решается немного легче на мой взгляд. Стоит вспомнить теорему синусов в расширенном виде.
Здесь
R - искомый радиус окружности.
Теперь надо найти угол А. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Остальные два угла известны по условию задачи.
Подставим в (1)
сократим на 2 обе части
R=3.
2) Докажем, что треугольник ACD - равнобедренный. Смотри рисунок во вложении. Так как АВ=ВС, то углы ВАС и ВСА равны. Вычислим сколько градусов составляют эти углы. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В самом треугольнике АВС
Пусть
180=x+x+36
180=2x+36
2x=180-36
2x=144
x=72
Так как AD - биссектриса, то
Теперь знаем два угла в треугольнике ADC.
По той же теореме о сумме углов в треугольнике
Получается, что
Значит два угла в треугольнике ACD - равны, поэтому треугольник равнобедренный.
1. Вокруг любого треугольника можно описать окружность. Если описать окружность вокруг прямоугольного треугольника, то ее центр будет лежать на середине гипотенузы, а сама гипотенуза будет диаметром этой окружности. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Вершина A лежит на окружности, середина противолежащей стороны BC - точка О, центр окружности. Значит медиана AO - радиус описанной окружности. D = 60 см отсюда R = 30 см.
2. Биссектриса делит угол ABC на два равных угла по 45°, угол AHB = 65° ( по условию ), значит угол BAC = 180 - ( 45 + 65 ) = 70°.
Угол BCA = 180 - ( 90 + 70 ) = 20°.
1) Первая задача решается немного легче на мой взгляд. Стоит вспомнить теорему синусов в расширенном виде.
Здесь
R - искомый радиус окружности.
Теперь надо найти угол А. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.
Остальные два угла известны по условию задачи.
Подставим в (1)
сократим на 2 обе части
R=3.
2) Докажем, что треугольник ACD - равнобедренный. Смотри рисунок во вложении. Так как АВ=ВС, то углы ВАС и ВСА равны. Вычислим сколько градусов составляют эти углы. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. В самом треугольнике АВС
Пусть
180=x+x+36
180=2x+36
2x=180-36
2x=144
x=72
Так как AD - биссектриса, то
Теперь знаем два угла в треугольнике ADC.
По той же теореме о сумме углов в треугольнике
Получается, что
Значит два угла в треугольнике ACD - равны, поэтому треугольник равнобедренный.