Решить
1. треугольник mnk задан координатами своих вершин: м(-6; 1), n(2; 4), к(2; -2).
а) докажите, что ∆mnk - равнобедренный.
б) найдите высоту, проведенную из вершины м.
2*. найдите координаты точки n, лежащей на оси абсцисс и равноудаленной от точек р(-1; 3) и k(0; 2).

​

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники. Противоположные стороны граней равны.
Обозначим искомые ребра:
AD = a, DC = b, DD₁ = c.

ΔADD₁: по теореме Пифагора
a² + c² = 64
ΔDCC₁: по теореме Пифагора
b² + c² = 100
ΔABD:  по теореме Пифагора
a² + b² = 144

Сложим три уравнения получившейся системы:
2(a² + b² + c²) = 308
a² + b² + c² = 154

Теперь вычтем из получившегося уравнения каждое первоначальное уравнение:
1) b² = 90
     b =  √90 = 3√10 м
2) a² = 54
     a = √54 = 3√6 м
3) с² = 10
     с = √10 м

AD = 3√6 м, DC = 3√10 м, DD₁ = √10 м.

Пусть H - середина АС.
Тогда ВH - медиана и высота правильного треугольника АВС.
SH - медиана и высота равнобедренного треугольника SAC.
ВH⊥АС, SH⊥AC, ⇒ ∠SHB = 60° - линейный угол двугранного угла наклона боковой грани к основанию.

Проведем ОК⊥SH.
АС⊥SHB (ВH⊥АС, SH⊥AC), значит ОК⊥АС, ⇒
ОК⊥SAC, т.е. ОК = 2√3.

ΔОКН: sin 60° = OK / OH
             OH = OK / sin 60° = 2√3 / (√3/2) = 4

ΔSOH: tg 60° = SO / OH
             SO = OH · tg 60° = 4√3

ΔABC: OH = a√3/6 как радиус вписанной в правильный треугольник окружности,
              а = 6ОН / √3 = 24 / √3 = 8√3
V = 1/3 · Sосн · SO
V = 1/3 · (a²√3/4) · 4√3
V = 1/3 · 64 · 3 · √3/4 · 4√3 = 64 · 3 = 192