решить!
1)Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3, а апофема 5. Найдите периметр основания этой пирамиды.
2)Боковая поверхность правильной пирамиды равна 24, а площадь основания равна 12. Под каким углом наклонены боковые грани к основанию?
3)В основании пирамиды лежит квадрат с диагональю, равной 5. Одно из боковых ребер перпендикулярно основанию. Большее боковое ребро наклонено к основанию в 45. Чему равна площадь полной поверхности?
4)Найдите площадь основания правильной треугольной пирамиды, у которой высота равна 8 , а двугранный угол при стороне основания равен 45.
5)В основании пирамиды треугольник со сторонами 7,10 и 13. Высота пирамиды 4. Найдите величину двугранного угла при основании пирамиды, если все боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.
6)В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, длины оснований которой равны 10 и 2. Найдите высоту пирамиды, если каждая ее боковая грань составляет с основанием угол 60.
7)Основание пирамиды – треугольник со сторонами 5, 5 и 6, высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник, и равна 2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Сторона РК (по свойству подобных треугольников) равна 1/4 части ВС: РК =a/4.
Так как углы всех граней тетраэдра равны 60°, то длину сторон МК и МР находим по теореме косинусов из треугольника МДP:
(по условию МД = a/2, а КД = РД = a/4)
PM = √((a²/4)+(a²/16)-2*(a/2)*(a/4)*cos60) =
= √((4a²+a²-2a²)/16 = (a√3) / 4.
Высота h треугольника РМК равна:
h = √((3a²/16) - ((a/4)/2)²) = a√22 / 8.
Искомая площадь равна:
S(MPK) = (1/2)*(a/4)*(a√22/8) = a²√22 / 64.
Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
1. Проведем прямую через точку , параллельную прямой . Точку пересечения этой прямой с прямой обозначим буквой .
2. Тогда , так как они являются накрест лежащими при параллельных прямых , и секущей . Также , так как они вертикальные. Кроме того, по условию. Следовательно, по стороне и двум прилежащим к ней углам.
3. Следовательно, . То есть в четырехугольнике две стороны равны и параллельны. Следовательно, этот четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, все углы этого параллелограмма прямые. Следовательно, — прямоугольник.
4. То есть , так как это диагонали данного прямоугольника. Кроме того, эти диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, .