Решить по 10 класс. через вершину прямого угла с в равнобедренном треугольнике cde проведена прямая са перпендикулярная плоскости треугольника. известно что са=35 дм, cd=12 корень из 2 дм. найти расстояние от а до прямой de.
Из т. A опустим перпендикуляр на прямую DE (см. прикрепленный рисунок). Пусть AH - этот перпендикуляр, (длину которого и требуется найти в задаче). Тогда AH⊥DE. Проведем отрезок CH в плоскости CDE. Т.к. по условию AC⊥CDE, то AH - наклонная, а AC - перпендикуляр (к плоскости CDE). И AH⊥DE (по построению), тогда по теореме обратной теореме "о трёх перпендикулярах", получаем, что DE⊥CH. Таким образом CH - это высота прямоугольного равнобедренного треугольника CDE. Найдем CH. Для этого найдем DE по т. Пифагора: DE² = CE² + CD² = (12√2)² + (12√2)² = 2*12² + 2*12² = 4*12², DE = √(4*12²) = 2*12. Т.к. треугольник CDE - равнобедренный, то его высота CH является и медианой. Поэтому DH = EH = DE/2 = 2*12/2 = 12. По т. Пифагора для ΔCDH. CH² = CD² - DH² = (12√2)² - 12² = 2*12² - 12² = 12², CH = √(12²) = 12. Т.к. AC⊥пл.CDE, то AC⊥CH, и ΔACH прямоугольный, ∠ACH = 90°. По т. Пифагора для ΔACH: AH² = CH² + AC² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369, AH = √(1369) = 37. ответ. 37 дм.
Т.к. по условию AC⊥CDE, то AH - наклонная, а AC - перпендикуляр (к плоскости CDE). И AH⊥DE (по построению), тогда по теореме обратной теореме "о трёх перпендикулярах", получаем, что DE⊥CH.
Таким образом CH - это высота прямоугольного равнобедренного треугольника CDE. Найдем CH. Для этого найдем DE по т. Пифагора:
DE² = CE² + CD² = (12√2)² + (12√2)² = 2*12² + 2*12² = 4*12²,
DE = √(4*12²) = 2*12.
Т.к. треугольник CDE - равнобедренный, то его высота CH является и медианой. Поэтому DH = EH = DE/2 = 2*12/2 = 12.
По т. Пифагора для ΔCDH.
CH² = CD² - DH² = (12√2)² - 12² = 2*12² - 12² = 12²,
CH = √(12²) = 12.
Т.к. AC⊥пл.CDE, то AC⊥CH, и ΔACH прямоугольный, ∠ACH = 90°.
По т. Пифагора для ΔACH:
AH² = CH² + AC² = 12² + 35² = 144 + 1225 = 1369,
AH = √(1369) = 37.
ответ. 37 дм.