РЕШИТЬ ВСЕ БИЛЕТЫ БИЛЕТ 1.
1. Смежные углы и их свойство. Определение биссектрисы угла. Прямой угол.
2. Построение треугольника по стороне, прилежащему и противолежащему углу.
3. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 50°. Найдите величину внешнего угла при основании.
БИЛЕТ 2.
1. Вертикальные углы и их свойство. Сравнение углов.
2. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
3. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных секущей, если один из них равен 42°.
БИЛЕТ 3.
1. Перпендикулярные прямые. Свойство двух прямых, перпендикулярных третьей
2. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.
3. Найдите величины смежных углов, если один из них в 5 раз больше другого
БИЛЕТ 4.
1. Первый признак равенства треугольников.
2. Понятие об окружности. Откладывание на луче отрезка, равного данному.
3. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.
БИЛЕТ 5.
1. Второй признак равенства треугольников.
2. Построение перпендикуляра к прямой через точку на ней.
3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса АD. Найдите угол ADC, если угол C = 50°.
БИЛЕТ 6.
1. Третий признак равенства треугольников.
2. Построение перпендикуляра к прямой через точку вне ее.
3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см и периметр треугольника АВМ равен 24см.
БИЛЕТ 7.
1. Равнобедренный треугольник и его свойства.
2. Деление отрезка пополам.
3. В треугольнике МОК О=76°, а угол М в 3 раза меньше внешнего угла при вершине К. Найдите неизвестные углы треугольника.
БИЛЕТ 8.
1. Признаки параллельности прямых (доказательство по выбору экзаменующего)
2. Построение прямоугольного треугольника по двум катетам.
3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 115 °. Найдите углы.
БИЛЕТ 9.
1. Свойства параллельных прямых (доказательство по выбору экзаменуемого)
2. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу.
3. В равнобедренном треугольнике АВС угол В – тупой. Высота BD равна 8 см. Найдите периметр треугольника АВС, если периметр треугольника АВD равен 24см.
БИЛЕТ 10.
1. Теорема о сумме углов треугольника. Виды треугольников по углам.
2. Построение угла равному данному.
3. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных а и b секущей с, если один из углов на 70 больше другого.
БИЛЕТ 11.
1. Свойство внешнего угла треугольника.
2. Построение треугольника по трем сторонам.
3. В равнобедренном треугольке АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найти медиану АМ, если периметр треугольника АВС = 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
БИЛЕТ 12.
1. Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
2. Деление угла пополам.
3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 °, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найти гипотенузу треугольника.
БИЛЕТ 13.
1. Неравенство треугольника.
2. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам.
3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС = 37 см, внешний угол при вершине В равен 60 °. Найти расстояние от вершины С до прямой АВ.
БИЛЕТ 14.
1. Свойство прямоугольного треугольника с углом 30 °
2. Построение прямой, параллельной данной и проходящей через данную точку.
3. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120 °, АС+АВ=18см. Найти АС и АВ.
БИЛЕТ 15.
1. Свойство углов и сторон прямоугольного треугольника.
2. Построение угла в 30 °
3. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
БИЛЕТ 16.
1. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Доказательство одного из них.
2. Построение прямоугольного треугольника по катету и противолежащему углу.
3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найти медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.
БИЛЕТ 17.
1. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.
2. Построение прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу.
3. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°. Найти эти углы.
Поскольку иное не указано, данный конус – прямой. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания.
На рисунке приложения треугольник АВС– осевое сечение конуса. ∆ АВС- равнобедренный (АВ=ВС как образующие ). АС - диаметр, О - центр основания, ВО - высота конуса.
ВО⊥АС⇒ треугольник ВОС – прямоугольный, и отрезок ОН, проведенный перпендикулярно к гипотенузе ВС, является его высотой. Прямоугольный ∆ СОВ~∆ НОВ по общему углу при вершине В ⇒
∠ВСО=∠ВОН=α.
V(кон)=πR²•h/3
R=BC•cosα=n•cosα
h=BO=n•sinα
V=π•n²•cos²α•n•sinα/3=n³•cos²α•sinα/3
2. Судя по этим углам, можно заключить, что AD = AB, а раз AB = AC = BC, то AD = AB = BC = AC.
3. Раз в треугольнике AD = AC, то и угол ADC = угол ACD.
4. В треугольнике ABC угол A = угол B = угол C = 180/3 = 60 градусов.
5. В треугольнике ACD, как и всегда, сумма углов = 180 градусов. Но раз там угол D = угол C, то возьмём один из них за х. Получается, что х+х+90(угол DAB)+60(угол BAC) = 180.
180-90-60=2х
30=2х
х=15 градусов = угол ACD = ADC.
6. Угол D, как было указано в пункте №1, равен 45 градусам. Этот угол состоит из угла ADC (15 градусов) и угла CDB (который нам и надо найти). Получается, что:
45=15+CDB
CDB = 30 градусов