Решить задачи по плану в приложении

120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной а проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОK = b.

121. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, СМ — медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника ABC, причем СК = 12 см. Найдите КМ.

122. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16 √3 см, ОK = 12 см, CD = 16 см. Найдите расстояния от точек D и К до вершин А и В треугольника.

Ромб АВСД, АС=16, ВД=12, диагонали ромба пересекаются под углом 90 и в точке пересечения делятся пополам, АО=ОС=АС/2=16/2=8, ВО=ОД=ВД/2=12/2=6, треугольник АВО прямоугольный, АВ=ВС=СД=АД=корень((АО в квадрате+ВО в квадрате)=корень(64+36)=10, ЕФ высота, треугольник АОД прямоугольный, ОД в квадрате=ФД*АД, ФД=ОД в квадрате/АД=36/10=3,6, АФ=10-3,6=6,4, треугольник ФОД=треугольник ВОЕ как прямоугольные по гипотенузе и острому углу (ВО=ОД, уголФДО=уголОВЕ как внутренние разносторонние)ВД=ВЕ=3,6, АФ=ЕС=6,4, треугольник АОД, ОФ=корень(АФ*ФД)=корень(6,4*3,6)=4,8=ОЕ, ЕФ=ОФ+ОЕ=4,8+4,8=9,6, ФК параллельна АС, треугольник АСД подобен треугольнику ФКД по двум равным углам (уголД- общий, уголФКД=уголАСД как соответственные), ФД/АД=ФК/АС, 3,6/10=ФК/16, ФК=3,6*16/10=5,76, МЕ параллельна АС, треугольник ВМЕ подобен треугольнику АВС по двум равным углам (уголВ-общий, уголВМЕ=уголВАС как соответственные), ВЕ/ВС=МЕ/АС, 3,6/10=МЕ/16, МЕ=3,6*16/10=5,76, МЕ=ФК и МЕ параллельно ФК, теорема- если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны то четырехугольник МЕКФ параллелограмм , согласно теоремы Фалеса ФД/АД=ДК/СД, 3,6/10=ДК/10, ДК=3,6, СК=6,4, так же для стороны АВ, МВ=3,6, АМ=6,4, треугольник ВСД подобен треугольнику ЕСК по двум пропорцианальным сторонам и равному углу между ними (уголС-общий, ЕС/АС=СК/СД, 6,4/10=6,4/10, ЕС/ВС=ЕК/ВД, 6,4/10=ЕК/12, ЕК=6,4*12/10=7,68, треугольник ЕФК, ЕК в квадрате+ФК в квадрате=58,9824+33,1776=92,16, ЕФ в квадрате=9,6*9,6=92,16, если сумма квадратов двух сторон = квадрату третьей стороны то треугольник прямоугольный, треугольник ЕФК прямоугольный, уголЕКФ=90, теорема - если в параллелограмме есть прямой угол то параллелограмм прямоугольник , диагонали  в прямоугольнике равны ЕФ=МК=9,6, площадьМЕКФ=ЕК*ФК=7,68*5,76=44,2368

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
AOD - прямоугольный треугольник.
ОР - высота из прямого угла в треугольнике AOD.
ОР=√(АР*РD)=√(6√3*2√3)=6см.
По Пифагору АО=√(АР²+ОР²)=√(108+36)=12см.
R=AJ=JO=JP = АО/2 = 6см.
Площадь круга Sк=π*R²=36π.
В прямоугольном треугольнике АРО катет ОР равен половине
гипотенузы АО, значит <PAO=30°,
<РАК=60° (так как АО - биссектриса <PAK) => дуга РОК=120°.
<PJK=120°(центральный угол, опирающийся на дугу РОК).
РН=0,5*АР=3√3см (катет против угла 30°).
AH=√(АР²-РH²)=√(108-27)=9см.
Площадь треугольника АКР равна
Sapk=AH*PH=9*3√3=27√3см².
Площадь сегмента КОР равна
Skop=(R²/2)*(π*α/180 -Sinα) - формула.
В нашем случае α=<PKJ =120°.
Skop=(36/2)*(π*120/180 -√3/2)
Skop=(12π-9√3)см².
Искомая площадь равна
S=Sк-Sapk-Skop = 36π-27√3-12π+9√3 = (24π-18√3)см².