внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине B в 2 раза. Внешний угол - это разность между 180° и внутренним углом. То есть внешний угол при вешине А равен 180°- A, при вершине B 180°- B. Т.к. При вершине А внешний угол больше в 2 раза, то
Получаем систему уравнений:
Тогда угол C равен 180°- 100°- 20° = 60°
Внешние углы равны:
при вершине А 180°- 20° = 160°;
при вершине B 180°- 100°= 80°;
при вершине C 180°- 60° = 120°.
Наибольшая разность - это разность между максимальным значением и минимальным, т.е. 160°- 80° = 80°, разность между внешними углами при А и при С.
Хорошая задача. Она основана на чрезвычайно важном факте, который я бы включил в число самых главных теорем планиметрии.
Теорема. Пусть окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке A' и продолжений сторон AB и AC соответственно в точках C' и B'. Тогда AC'=AB'=p - полупериметр треугольника. Кстати, такая окружность называется вневписанной по отношению к треугольнику.
Доказательство этой теоремы, если вдуматься, почти очевидно. Предлагается получить его самостоятельно. Или оформить в виде отдельного задания, приложив красивый чертеж.
Переходим к основной задаче. Данная окружность, являясь вписанной для треугольника ABC, является также вневписанной для трех маленьких. Поэтому отрезки сторон треугольника ABC от вершин до точек касания равны полупериметрам соответствующих треугольников. А периметр треугольника ABC равен сумме периметров трех маленьких P=18+5+6=29
A - B = 80
внешний угол при вершине А больше внешнего угла при вершине B в 2 раза. Внешний угол - это разность между 180° и внутренним углом. То есть внешний угол при вешине А равен 180°- A, при вершине B 180°- B. Т.к. При вершине А внешний угол больше в 2 раза, то
Получаем систему уравнений:
Тогда угол C равен 180°- 100°- 20° = 60°
Внешние углы равны:
при вершине А 180°- 20° = 160°;
при вершине B 180°- 100°= 80°;
при вершине C 180°- 60° = 120°.
Наибольшая разность - это разность между максимальным значением и минимальным, т.е. 160°- 80° = 80°, разность между внешними углами при А и при С.
Теорема. Пусть окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке A' и продолжений сторон AB и AC соответственно в точках C' и B'. Тогда AC'=AB'=p - полупериметр треугольника. Кстати, такая окружность называется вневписанной по отношению к треугольнику.
Доказательство этой теоремы, если вдуматься, почти очевидно. Предлагается получить его самостоятельно. Или оформить в виде отдельного задания, приложив красивый чертеж.
Переходим к основной задаче. Данная окружность, являясь вписанной для треугольника ABC, является также вневписанной для трех маленьких. Поэтому отрезки сторон треугольника ABC от вершин до точек касания равны полупериметрам соответствующих треугольников. А периметр треугольника ABC равен сумме периметров трех маленьких P=18+5+6=29
ответ: 29