Цитата: "Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники." Диагональ основания призмы ВD параллельна диагонали сечения ЕЕ1 (доказывать не надо). Тогда ВЕ=ОО1, а искомое расстояние от В до плоскости АЕС1 равно перпендикуляру ОН, основание которого Н лежит на диагонали призмы АС1. В треугольнике ОНО1 угол <НОО1 равен углу треугольника АСС1 <CAC1, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Cos(<CAC1)=АС/АС1. АС - диагональ основания призмы (квадрата) и равна 4√2. АС1 - диагональ призмы (и диагональ сечения) и равна √(АС²+СС1²)=√(32+4)=6. Тогда Cos(<СAC1)=4√2/6=2√2/3. В треугольнике ОНО1: ОН=ОО1*Cos(<HOO1)=1*2√2/3=2√2/3. ответ: искомое расстояние равно 2√2/3.
Координатный метод: поместим начало координат в точку В. Пусть ВС- ось X, BB1- ось Y, BA - ось Z. Мы имеем: Точки А(0;0;4)В(0;0;0), Е(0;1;0), C1(4;2;0). Теперь можем написать уравнения плоскости, проходящей через 3 точки и найти расстояние от точки В до плоскости АЕС1. Для составления уравнения плоскости АЕС1 используем формулу: |x - xА xЕ - xА xС1 - xА| |y - yА yЕ - yА yС1 - yА| = 0. |z - zА zЕ - zА zС1 - zА| Подставим данные трех наших точек А,Е и С1: |х-0 0 4 | |y-0 1 2 | = 0. |z-4 -4 -4 | Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: | 1 2 | | 0 4 | |0 4| х*|-4 -4 | - y*|-4 -4 | + (z-4)*|1 2| =0. Или: x(-4+8)- y(0+16) +(z-4)(0-4)=0 или 4x-16y-4z+16=0 или x-4y-z+4=0. Итак, имеем плоскость в виде Ax+By+Cz+D=0: x-4y-z+0=0, где А=1, В=-4, С=-1, D=4 и точку В(0;0;0). Надо найти расстояние от этой точки до плоскости. Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки В(Вx, Вy, Вz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу: d=|A*Bx+B*By+C*Bz+D|/√(A²+B²+C²); В нашем случае: d=|4|/√(1+16+1)=4/(3√2)=2√2/3. ответ: расстояние от В до плоскости АЕС1 равно 2√2/3.
Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
Диагональ основания призмы ВD параллельна диагонали сечения ЕЕ1 (доказывать не надо). Тогда ВЕ=ОО1, а искомое расстояние от В до плоскости АЕС1 равно перпендикуляру ОН, основание которого Н лежит на диагонали призмы АС1. В треугольнике ОНО1 угол <НОО1 равен углу треугольника АСС1 <CAC1, как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Cos(<CAC1)=АС/АС1.
АС - диагональ основания призмы (квадрата) и равна 4√2.
АС1 - диагональ призмы (и диагональ сечения) и равна √(АС²+СС1²)=√(32+4)=6. Тогда Cos(<СAC1)=4√2/6=2√2/3.
В треугольнике ОНО1: ОН=ОО1*Cos(<HOO1)=1*2√2/3=2√2/3.
ответ: искомое расстояние равно 2√2/3.
Координатный метод: поместим начало координат в точку В. Пусть ВС- ось X, BB1- ось Y, BA - ось Z.
Мы имеем:
Точки А(0;0;4)В(0;0;0), Е(0;1;0), C1(4;2;0).
Теперь можем написать уравнения плоскости, проходящей через 3 точки и найти расстояние от точки В до плоскости АЕС1.
Для составления уравнения плоскости АЕС1 используем формулу:
|x - xА xЕ - xА xС1 - xА|
|y - yА yЕ - yА yС1 - yА| = 0.
|z - zА zЕ - zА zС1 - zА|
Подставим данные трех наших точек А,Е и С1:
|х-0 0 4 |
|y-0 1 2 | = 0.
|z-4 -4 -4 |
Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение
плоскости:
| 1 2 | | 0 4 | |0 4|
х*|-4 -4 | - y*|-4 -4 | + (z-4)*|1 2| =0.
Или:
x(-4+8)- y(0+16) +(z-4)(0-4)=0 или 4x-16y-4z+16=0 или x-4y-z+4=0.
Итак, имеем плоскость в виде Ax+By+Cz+D=0:
x-4y-z+0=0, где А=1, В=-4, С=-1, D=4 и точку В(0;0;0).
Надо найти расстояние от этой точки до плоскости.
Если задано уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, то расстояние от точки В(Вx, Вy, Вz) до плоскости можно найти, используя следующую формулу:
d=|A*Bx+B*By+C*Bz+D|/√(A²+B²+C²); В нашем случае:
d=|4|/√(1+16+1)=4/(3√2)=2√2/3.
ответ: расстояние от В до плоскости АЕС1 равно 2√2/3.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301