Решите никогда не помешает)

P=12

Объяснение:

Поскольку стороны искомого шестиугольника целочисленные, а углы 120, будем решать на сетке из единичных равносторонних треугольников (ед.).

Правильный шестиугольник со стороной 1 состоит из 6 ед., искомый шестиугольник - из 18 ед.

Искомый шестиугольник виден, его периметр 12.

Попробуем доказать перебором, что он единственный.

Любой шестиугольник с углами 120 (внешние углы 60) можно достроить до равностороннего треугольника, продлив стороны.

Количество ед., из которых состоит равносторонний треугольник, равно квадрату его стороны (сумма последовательных нечетных чисел равна квадрату).

От равностороннего треугольника со стороной t нужно отсечь равносторонние треугольники со сторонами a, b, c и получить площадь 18 ед.

t^2 -a^2 -b^2 -c^2 =18

Из рисунка видно, что t не может быть больше 6 (фигура высотой 1 ед. будет параллелограммом или трапецией, но не шестиугольником).

Перебирая квадраты целых чисел, находим единственное решение:

6^2 -4^2 -1^2 -1^2 =18

Так как PS=RS, то треугольник PSR с основанием PR боковыми сторонами PS и RS является равнобедренным. 
Следовательно углы пр основании равны, то есть  углы ∠SPR и ∠SRP равны. ==> ∠SPR = ∠SRP= 1,5*∠PSR
Сумма углов в треугольнике равна 180°. Тогда ∠SPR + ∠SRP + ∠PSR=180°
Подставляем в выражение известные нам значения:
(1,5*∠PSR)+(1,5*∠PSR)+∠PSR =180°
Упрощаем:
4 * ∠PSR= 180°
∠PSR = 45°
Находим углы при основании, то есть ∠SPR и ∠SRP, зная что оба угла равны 1,5*∠PSR 
∠SPR = ∠SRP= 1,5 * 45°=67,5°
Делаем проверку, того что все углы в треугольнике в сумме дают 180°
67,5° + 67,5° + 45°=180°
Всё верно.
ответ: ∠SPR = 67,5° , ∠SRP=67,5° , ∠PSR = 45°