1. Точки К, Т и Р лежат попарно в одной плоскости, поэтому соединяем их. КТР - искомое сечение.
2. Пусть К - середина AD, Р - середина СС₁, Т - середина А₁В₁. 1) Т₁С - проекция прямой ТР на плоскость основания. ТР ∩ Т₁С = Е, - это точка пересечения прямой ТР с плоскостью основания. Точки Е и К принадлежат основанию, значит ЕК - след сечения на плоскости основания. ЕК ∩ CD = L KL - отрезок сечения. Точки L и Р лежат в одной плоскости, соединяем. PL - отрезок сечения. 2) Плоскость (АВС) пересекается с плоскостью (АА₁В₁) по прямой АВ. KL ∩ AB = F Точка F принадлежит плоскости (АА₁В₁) и точка Т тоже. FT ∩ AA₁ = M КМ и ТМ - отрезки сечения. 3) Плоскость (АА₁В₁) пересекается с плоскостью (ВВ₁С₁) по прямой ВВ₁. FT ∩ BB₁ = G. Точка G принадлежит плоскости (ВВ₁С₁) и точка Р тоже. GP ∩ B₁C₁ = N. NP и NT - отрезки сечения. KMTNPL - искомое сечение.
1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).
КТР - искомое сечение.
2. Пусть К - середина AD, Р - середина СС₁, Т - середина А₁В₁.
1) Т₁С - проекция прямой ТР на плоскость основания.
ТР ∩ Т₁С = Е, - это точка пересечения прямой ТР с плоскостью основания.
Точки Е и К принадлежат основанию, значит ЕК - след сечения на плоскости основания.
ЕК ∩ CD = L
KL - отрезок сечения.
Точки L и Р лежат в одной плоскости, соединяем.
PL - отрезок сечения.
2) Плоскость (АВС) пересекается с плоскостью (АА₁В₁) по прямой АВ.
KL ∩ AB = F
Точка F принадлежит плоскости (АА₁В₁) и точка Т тоже.
FT ∩ AA₁ = M
КМ и ТМ - отрезки сечения.
3) Плоскость (АА₁В₁) пересекается с плоскостью (ВВ₁С₁) по прямой ВВ₁.
FT ∩ BB₁ = G.
Точка G принадлежит плоскости (ВВ₁С₁) и точка Р тоже.
GP ∩ B₁C₁ = N.
NP и NT - отрезки сечения.
KMTNPL - искомое сечение.
1. Соединим точки С и D с центром. Тогда треугольники AOD и ВОС равнобедренные (OA = OB = OC = OD как радиусы), ⇒
∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.
∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей АВ. Но тогда в этих треугольниках равны и углы при вершине О. Значит треугольники AOD и ВОС равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒
AD = BC.
2. Точки, находящиеся на данном расстоянии от данной прямой а, будут расположены на прямой, параллельной прямой а (красные прямые). В зависимости от расположения прямых задача может иметь одно решение (1), два решения (2) и не иметь решения (3).