(х – а)² + (у – b)² = R² – уравнение окружности, записанное в общем виде, где (а; b) – координаты центра окружности; R – радиус окружности. Из условия задачи известно, что уравнение окружности проходит через точку 8 на оси Ox, то есть через точку с координатами (8; 0), и через точку 4 на оси Oy, то есть через точку с координатами (0; 4). При этом центр находится на оси Oy, значит, точка (0; b) является центром окружности. Подставляя поочередно координаты этих точек в уравнение, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Даны координаты вершин треугольника ABCA: (− 1,−1), B( 2,5 ), C( 3,2 ).
Найти:
1) Уравнение линии BC ;
Вектор ВС = (3-2; 2-5)= (1; -3).
Уравнение ВС: (х - 2)/1 = (у - 5)/(-3) или в виде уравнения с угловым коэффициентом у = -3х + 11.
2) Уравнение высоты AK - это перпендикуляр к стороне ВС.
Тогда к(АК) = -*1/к(ВС) = -1/(-3) = 1/3.
Уравнение АК: у = (1/3)х + в.
Чтобы найти в подставим координаты точки А: -1 = (1/3)*(-1) + в, отсюда
в = -1 + (1/3) = (-2/3).
Уравнение АК: у = (1/3)х - (2/3).
3) Длину высоты AK ;
Это расстояние от точки А до прямой ВС.
Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My) до прямой Ax + By + C = 0 используем формулу:
d = |A·Mx + B·My + C| /√(A² + B²).
Подставим в формулу данные:
d = |3·(-1) + 1·(-1) + (-11)|/ √32 + 12 = |-3 - 1 - 11| /√(9 + 1 ) =
= 15 /√10 = 3√10 /2 ≈ 4.743416.
4) Уравнение прямой (l), которая проходит через точку A параллельно прямой BC ;
У этой прямой угловой коэффициент равен такому у прямой ВС,
Уравнение: у = -3х + в. Подставим координаты точки А:
-1 = (-3)*(-1) + в, отсюда в = -1 - 3 = -4.
Уравнение: у = -3х - 4.
5) Уравнение медианы (AM ), проведенной через вершину A;
Находим координаты точки М как середину стороны ВС. B( 2,5 ), C( 3,2 )
М = (2,5; 3,5). Вектор АМ = (2,5-(-1); 3,5-(-1)) = (3,5; 4,5).
Уравнение АМ: (х + 1)/3,5 = (у + 1)/4,5 или с целыми коэффициентами
(х + 1)/7 = (у + 1)/9.
Уравнение АМ в общем виде 9х - 7у + 2 = 0.
6) Угол (φ), образованный медианой, проведенной из вершины A, и стороной AB;
Вектор АВ = (2-(-1); 5-(-1)) = (3; 6). Модуль равен √(9+36) = √45 = 3√5.
Вектор АМ = (7; 9). Модуль равен √(49+81) = √130.
cos φ = (3*7 + 6*9)/(3√5*√130) = 75/15√26 = 5√26/26 = 0,98058.
Угол φ = arc cos(5√26/26) = 0,1974 радиан или 11,30993 градуса.
7) Площадь треугольника ABC ;
S=(1/2)*|(Хв-Ха)*(Ус-Уа)-(Хс-Ха)*(Ув-Уа)| = 7,5 кв.ед.
8) Периметр треугольника ABC .
Периметр Р = 14,87048 .
(х – а)² + (у – b)² = R² – уравнение окружности, записанное в общем виде, где (а; b) – координаты центра окружности; R – радиус окружности. Из условия задачи известно, что уравнение окружности проходит через точку 8 на оси Ox, то есть через точку с координатами (8; 0), и через точку 4 на оси Oy, то есть через точку с координатами (0; 4). При этом центр находится на оси Oy, значит, точка (0; b) является центром окружности. Подставляя поочередно координаты этих точек в уравнение, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:
(8 – 0)² + (0 – b)² = R² и (0 – 0)² + (4 – b)² = R²;
(8 – 0)² + (0 – b)² = (0 – 0)² + (4 – b)²;
8² + b² = (4 – b)²;
b² – 8 ∙ b + 4² – 8² – b² = 0;
8 ∙ b = – 48;
b = – 6, тогда, R = 10, и уравнение окружности примет вид:
х² + (у + 6)² = 10².
ответ: х² + (у + 6)² = 10² – уравнение данной окружности.