Пусть катеты a и b, гипотенуза с. Я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая отрезок а от вершины.
(Пояснение.
Построенный со стороной (a + b) с вершинами АBCD, А - "левая нижняя" вершина. От А вверх - вдоль АВ, откладывается а, потом от В вправо - вдоль ВС откладывается а, потом от С вниз, вдоль CD, откладывается а, и от D вдоль DA откладывается а.)
Все эти точки соединяются.
Получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).
Ясно, что центры этих квадратов совпадают. Это автоматически доказывает то, что надо в задаче.
(Если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство.
На самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. Поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. Ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. Этих треугольников там даже четыре, а не один :), можно любой выбрать за исходный.)
Рассмотрим треугольники АВС и АВЕ. У них угол В- общий, угол ВАЕ=углу ВСА. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Тогда АВ:АЕ=ВС:АВ АВ²=АЕ*ВС АВ³=4*(4+12)=64 АВ=√64=8 см Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой эта высота проведена. Опустим высоту СН на прямую ВА, содержащую сторону АВ треугольника. . Треугольник СВН - прямоугольный, где СН - катет, противолежащий углу 30°. СН=ВС:2=8 см S (АВС)=СН*АВ:2=8*8:2=32 см²
Вот такое нахальное решение. Ну уж простите :)
Пусть катеты a и b, гипотенуза с. Я строю квадрат со сторонами (a + b), и дальше обхожу все 4 стороны по часовой стрелке, откладывая отрезок а от вершины.
(Пояснение.
Построенный со стороной (a + b) с вершинами АBCD, А - "левая нижняя" вершина. От А вверх - вдоль АВ, откладывается а, потом от В вправо - вдоль ВС откладывается а, потом от С вниз, вдоль CD, откладывается а, и от D вдоль DA откладывается а.)
Все эти точки соединяются.
Получился квадрат со стороной с, вписанный в квадрат со стороной (a+b).
Ясно, что центры этих квадратов совпадают. Это автоматически доказывает то, что надо в задаче.
(Если не ясно, постройте там пару треугольников из диагоналей обоих квадратов и отрезков длины а и докажите их равенство.
На самом деле не надо ничего доказывать - эта фигура из двух квадратов переходит сама в себя при повороте вокруг центра большого квадрата на 90 градусов. Поэтому центр "вписанного" квадрата совпадает с центром большого, то есть лежит на биссктрисе прямого угла большого квадрата. Ну, и биссектрисе прямого угла исходного треугольника, само собой - это одно и то же. Этих треугольников там даже четыре, а не один :), можно любой выбрать за исходный.)
У них угол В- общий, угол ВАЕ=углу ВСА.
Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Тогда АВ:АЕ=ВС:АВ
АВ²=АЕ*ВС
АВ³=4*(4+12)=64
АВ=√64=8 см
Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой эта высота проведена.
Опустим высоту СН на прямую ВА, содержащую сторону АВ треугольника. .
Треугольник СВН - прямоугольный, где СН - катет, противолежащий углу 30°.
СН=ВС:2=8 см
S (АВС)=СН*АВ:2=8*8:2=32 см²