1) Найдем S осн. Основание АBCD - ромб, периметр которого 40 см => сторона ромба a равна 40 : 4 = 10 см. Одна из диагоналей ромба равна 12 см, и диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит если обозначить пересечение диагоналей т.О, то получим четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмортим один из них - АОВ. В нем гипотенуза равна a = 10 см, а один из катетов, например, АО = 12:2 = 6 см. Найдем по т. Пифагора другой катет ВО = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см.
Тогда площадь треугольника АОВ равна S(АОВ) = АО*ВО /2 = 6*8 /2 = 24 см²,
а площадь всего основания прямого параллелепипеда
S осн = 4* S(АОВ) = 4*24 = 96 см².
2) Найдем высоту h прямого параллелепипеда.
По условию нам известна его диагональ d = 20 см.
Т.к. в основании прямого параллелепипеда лежит ромб, то это может быть как большая, так и меньшая диагональ.
Пусть она соответсвует диагонали ромба 12 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 12²) =√(400 - 144) = √256 = 16
и V = Sосн * h = 96 * 16 = 1536 см³
Если же она соответсвует диагонали ромба 16 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 16²) =√(400 - 256) = √144 = 12
Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный треугольник, а вершина проецируется в его центр.
Центр правильного треугольника - центр вписанной и описанной окружности, т.е. точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике и медианами и биссектрисами.
а)
Площадь поверхности пирамиды - сумма площадей основания и боковой поверхности.
Формула площади правильного треугольника через его сторону
S=a²•√3/4
S(ABC)=16√3/4=4√3 см²
В правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Для нахождения их площади следует найти апофему (Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многоугольника.)
Углы правильного треугольника равны 60°
Высота основания СН=ВС•sin60°=4•√3:2=2√3
В правильном треугольнике высота=медиана.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. =>
ОН=2√3:3=2√3:3
ОН⊥АВ=>
по т. о 3-х перпендикулярах МН⊥АВ и является высотой ∆ АМС.
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания. =>
V = Sосн* h
1) Найдем S осн. Основание АBCD - ромб, периметр которого 40 см => сторона ромба a равна 40 : 4 = 10 см. Одна из диагоналей ромба равна 12 см, и диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, значит если обозначить пересечение диагоналей т.О, то получим четыре равных прямоугольных треугольника. Рассмортим один из них - АОВ. В нем гипотенуза равна a = 10 см, а один из катетов, например, АО = 12:2 = 6 см. Найдем по т. Пифагора другой катет ВО = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 см.
Тогда площадь треугольника АОВ равна S(АОВ) = АО*ВО /2 = 6*8 /2 = 24 см²,
а площадь всего основания прямого параллелепипеда
S осн = 4* S(АОВ) = 4*24 = 96 см².
2) Найдем высоту h прямого параллелепипеда.
По условию нам известна его диагональ d = 20 см.
Т.к. в основании прямого параллелепипеда лежит ромб, то это может быть как большая, так и меньшая диагональ.
Пусть она соответсвует диагонали ромба 12 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 12²) =√(400 - 144) = √256 = 16
и V = Sосн * h = 96 * 16 = 1536 см³
Если же она соответсвует диагонали ромба 16 см, тогда высота параллелепипеда будет равна: h = √(20² - 16²) =√(400 - 256) = √144 = 12
и V = Sосн * h = 96 * 12 = 1152 см³
ответ: 1152 см³ или 1536 см³
Пирамида правильная. Значит, основанием данной пирамиды является правильный треугольник, а вершина проецируется в его центр.
Центр правильного треугольника - центр вписанной и описанной окружности, т.е. точка пересечения его высот, являющихся в правильном треугольнике и медианами и биссектрисами.
а)
Площадь поверхности пирамиды - сумма площадей основания и боковой поверхности.
Формула площади правильного треугольника через его сторону
S=a²•√3/4
S(ABC)=16√3/4=4√3 см²
В правильной пирамиде все боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Для нахождения их площади следует найти апофему (Апофемой называется высота боковой грани, проведенная из вершины правильного многоугольника.)
Углы правильного треугольника равны 60°
Высота основания СН=ВС•sin60°=4•√3:2=2√3
В правильном треугольнике высота=медиана.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. =>
ОН=2√3:3=2√3:3
ОН⊥АВ=>
по т. о 3-х перпендикулярах МН⊥АВ и является высотой ∆ АМС.
Высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания. =>
МО⊥СН
По т.Пифагора из прямоугольного ∆ МОН
МН=√(MO*+OH*)=√(36+12/9)=√(336/9)=(√336)/3
S(AMB)=MH•AB:2=(2√336)/3
S (бок)=3•(2√336):3=2√336
S (полн)=4√3+2√336=2√3•(2+√112)=≈ 43,5888 см²