A) Тетраэдр - четырёхгранник, гранями которого являются четыре треугольника, треугольная пирамида. Одинаковые ребра имеют одинаковые проекции на плоскость основания. Поэтому вершина тетраэдра проецируется в центр описанной около основания окружности. Пусть в нашем случае основанием будет грань АСD . Тогда вершина В спроецируется в центр этого треугольника и проекция ребра ВС будет лежать на прямой СН, проходящей через центр описанной вокруг треугольника АСD окружности и являющейся высотой этого треугольника. ВС и АD - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую параллельную ребру АD через точку С и тогда получим, что ВС перпендикулярна этой прямой, так как если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, доказано, что ВС перпендикулярна АD.
б) Площадь сечения, содержащего прямую ВС и перпендикулярного прямой АD - это площадь треугольника СВН. Оно равно S=(1/2)*ВО*СН. По Пифагору СН=√(СD²-НD²) или СН=√(36-4) =4√2. ВН=√(ВD²-НD²)=4√2. СН=ВН. Пусть СО=х, тогда ВО²=ВН²-(НС-х)² и ВО²=ВС²-х². Значит ВН²-(НС-х)²=ВС²-х², или 32-32+8√2*х-х²=36-х² отсюда 8√2*х=36 х=9√2/4. ВО=√(36-81/8)=√207/2√2. S=(1/2)*(√207/2√2)*4√2=√207=3√23. Это ответ. Или так: В равнобедренном треугольнике СВН высота НР: НР=√(ВН²-(ВС/2)²) или НР=√(32-9) =√23. Тогда Scbh=(1/2)*BC*НР или Scbh=(1/2)*6*√23. ответ: Scbh=3√23.
Все ребра треугольной призмы равны. Найдите площадь основания призмы, если площадь ее полной поверхности равна 8+16√ 3
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности. Пусть ребро призмы равно а. Грани - квадраты, их 3. S бок=3а² S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2 По условию 3а²+(а²√3):2=8+16√3 Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3) а²=16(1+2√3):(6+√3) Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника: S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4 S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.
Одинаковые ребра имеют одинаковые проекции на плоскость основания. Поэтому вершина тетраэдра проецируется в центр описанной около основания окружности. Пусть в нашем случае основанием будет грань АСD . Тогда вершина В спроецируется в центр этого треугольника и проекция ребра ВС будет лежать на прямой СН, проходящей через центр описанной вокруг треугольника АСD окружности и являющейся высотой этого треугольника. ВС и АD - скрещивающиеся прямые. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между любыми двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным скрещивающимся. Проведем прямую параллельную ребру АD через точку С и тогда получим, что ВС перпендикулярна этой прямой, так как если проекция наклонной перпендикулярна прямой, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Таким образом, доказано, что ВС перпендикулярна АD.
б) Площадь сечения, содержащего прямую ВС и перпендикулярного прямой АD - это площадь треугольника СВН. Оно равно S=(1/2)*ВО*СН.
По Пифагору СН=√(СD²-НD²) или СН=√(36-4) =4√2.
ВН=√(ВD²-НD²)=4√2. СН=ВН.
Пусть СО=х, тогда
ВО²=ВН²-(НС-х)² и
ВО²=ВС²-х². Значит ВН²-(НС-х)²=ВС²-х², или
32-32+8√2*х-х²=36-х² отсюда 8√2*х=36
х=9√2/4. ВО=√(36-81/8)=√207/2√2.
S=(1/2)*(√207/2√2)*4√2=√207=3√23. Это ответ.
Или так:
В равнобедренном треугольнике СВН высота НР:
НР=√(ВН²-(ВС/2)²) или НР=√(32-9) =√23.
Тогда Scbh=(1/2)*BC*НР или Scbh=(1/2)*6*√23.
ответ: Scbh=3√23.
Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.
Пусть ребро призмы равно а.
Грани - квадраты, их 3.
S бок=3а²
S двух осн.=( 2 а²√3):4=( а²√3):2
По условию
3а²+(а²√3):2=8+16√3
Умножим обе стороны уравнения на 2 и вынесем а² за скобки: а²(6+√3)=16+32√3)=16(1+2√3)
а²=16(1+2√3):(6+√3)
Подставим значение а² в формулу площади правильного треугольника:
S=[16*(1+2√3):(6+√3)]*√3:4
S=4(√3+6):(6+√3)=4 (ед. площади)
Думаю, решение понятно. Перенести решение на листок для Вас не составит труда.