С ПОЛНЫМ РЕШЕНИЕМ И РИСУНКОМ. ХОТЯ БЫ ОДН/ДВЕ
3. Для куба ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми BD и CA
A. 30. B. 45 C. 60 D. 90
5. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильной треугольной пирамиды
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
7. Для правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 найдите угол между прямыми BC C1D
A. 30 B. 45 C. 60 D. 90
9. Для куба ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла между прямой BD1 и плоскостью BCC1
A. корень из трёх/три B. корень из шести/три C. корень из двух/три D. корень из шести/два.
Задана пирамида ABCD A(1;1;1) B(4;1;-1) C(0;5;2) и D(-2;0;6).
Найти:
а)высоту AH.
Определяем координаты векторов из вершины А.
→АД = (-2-1)=-3; 0-1=-1; 6-1=5) = (-3; -1; 5).
→АВ = (4-1=3; 1-1=0; -1-1=-2) = (3; 0; -2).
→АС = (0-1=-1; 5-1=4; 2-1=1) = (-1; 4; 1).
Произведение векторов
a × b = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}
(→ АВ)х(→АС) = (0 - (-8) = 8; 2 - 3 = -1; 12 - 0 = 12) = (8; -1; 12).
Объем пирамиды равен: V = (1/6)*((→ АВ)х(→АС))*(→ АД), →АД = (-3; -1; 5).
V = (1/6)*((8*(-3) + (-1)*(-1) + 12*5) = (1/6)*(-24 + 1 + 60) = 37/6.
Определяем векторы из вершины В.
→ВС = (-4; 4; 3), →ВД = (-6; -1) 7).
Их векторное произведение равно:
(→ВС)х(→ВД) = 28 + 3 = 31; -18 + 28 = 10; 4 + 24 = 28) = (31; 10; 28).
Площадь треугольника ВСД равна:
S(ВСД) = (1/2)*|(→ВС)х(→ВД)| = (1/2)√(31² + 10² + 28²) = (1/2)√1845 = = 3√205/2.
Отсюда находим длину высоты из вершины А на грань ВСД:
АН = 3V/S(ВСД) = (3*37/6)/(3√205/2) = 37√205/615 ≈ 21,47673.
б)Расстояние между прямыми, содержащими ребра AC и BD.
Определяем векторы: →АС = (-1; 4; 1) и →ВД = (-6; -1; 7) (ранее найдены).
|АС|x|ВД| =
Расстояние между ними находим из выражения:
x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1
l1 m1 n1
l2 m2 n2
d =
|АС|x|ВД|
Подставим значения:
1 - точка А 2 - точка В Расстояние d между скрещивающ.прямыми
x1 x2 y1 y2 z1 z2
1 4 1 1 1 -1
3 0 -2
х2 - х1 3 0 -2 3 0 Опре-
Вектор АС -1 4 1 -1 4 дели-
Вектор ВД -6 -1 7 -6 -1 тель
Определитель
82 Модуль AСхВD = 38,301436
-45 = 37 Расстояние d = 0,966021222
Определитель равен: 82 – 45 = 37.
Модуль ACхВD = 38,30144 , d = 37/38,30144 = 0,966021.
ответ: расстояние d = 0,966021.
в)Угол α между прямой AH и плоскостью ABC.
Этот угол можно определить так: α = 90 – β, где угол β – угол между гранями АВС и ВСД.
Угол β равен углу между нормалями к плоскостям указанных граней.
Координаты нормали определяются векторным произведением.
Нормаль ABC 8 -1 12 модуль √(64+1+144) = √209 ≈ 14,45683.
Нормаль BCD 31 10 28 модуль √(961+100+784) = √1845 = 3√205 ≈ 42,9535.
Косинус угла β равен:
cos β = (8*31+(-1)*10+12*28)/( √209*3√205) = 574/(3√42875) ≈ 0,924359.
Угол β равен 0,391445 радиан или 22,42814 градуса.
Отсюда ответ: угол между АН и плоскостью АВС равен 90 - 22,42814 = 67,57186 градуса.
По своей форме скала напоминает силуэт четырёхугольного паруса (за это и получила своё название) и представляет собой вертикально стоящий на берегу моря пласт песчаника, отделённый от скального массива провалом. Причиной возникновения данного памятника природы является наступление моря на сушу, эрозия и разная прочность скальных пород.
Толщина каменной стены чуть более метра, высота 25 метров, длина 20, при этом скала более чем на три четверти выдаётся в море перпендикулярно берегу. Уходящая в глубь моря подводная часть скалы просматривается на аэрофотоснимках еще на 90 м.
На высоте примерно 2,5 метра в скале Парус есть отверстие, о происхождении которого идут споры. В некоторых испточниках утверждается, что оно пробито артиллерийским снарядом во время Кавказской войны. Но такой вариант происхождения отверстия подвергается сомнению - С. Васюков, исследовавший Черноморское побережье, писал в 1903 г. после тщательного осмотра скалы, что в неё «…стреляли с броненосца моряки, пустили 4 снаряда, но стена осталась непоколебима, хотя заметны следы ядер, нигде не пробивших утёса…».