Самостійна робота на тему: Коло та круг. Дотична до кола. Ії властивості.

В правильной шестиугольной призме противоположные грани параллельны.
В основаниях малые диагонали равны.
Внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.

Точки А, С₁, В и D₁ не лежат в одной плоскости, поэтому прямые АС₁ и BD₁ скрещивающиеся.

AB║DE и AB = DE, значит АВD₁E₁ параллелограмм, ⇒  АЕ₁║BD₁.
Тогда ∠E₁AC₁ = ∠(АЕ₁ ; AC₁) = ∠(BD₁ ; AC₁) = α - искомый.

Найдем малую диагональ шестиугольника из ΔАВС по теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos120°
AC² = 9 + 9 - 2·3·3·(-1/2) = 18 + 9 = 27
АС = 3√3,    АЕ = АС = 3√3.

ΔАЕЕ₁: ∠АЕЕ₁ = 90°, по теореме Пифагора
               АЕ₁ = √(АЕ² + ЕЕ₁²) = √(27 + 16) = √43

ΔАСС₁ = ΔАЕЕ₁ по двум катетам, значит
АС₁ = АЕ₁ = √43

С₁Е₁ = АС = 3√3 (малая диагональ правильного шестиугольника)

Из ΔС₁АЕ₁ по теореме косинусов:
С₁Е₁² = АС₁² + АЕ₁² - 2·АС₁·АЕ₁·cosα
cosα = (АС₁² + АЕ₁² - C₁E₁²) / (2·AC₁·AE₁)
cosα = (43 + 43 - 27) / (2 · √43 · √43) = 59/86

α = arccos (59/86)

1) Пусть А - вершина конуса (А находится на поверхности сферы), О - центр основания конуса и центр сферы, В - некая точка на на границе основания конуса (тоже находится на поферхности сферы). АВ являестя образующей конуса.

ОВ - является радиусом основания конуса и радиусом сферы, тк О основание сферы, а В - точка на поверхности сферы.

ОА - является высотой конуса и радиусом сферы, тк О основание сферы, а А - точка на поверхности сферы.

ОВ=ОА , тк они являются радиусами одной сферы.

У нас получился треугольник ВОА. Он прямоугольный (ОА перпендикулярно ОВ, т.е. угол ВОА = 90). Он равнобедренный (ОВ=ОА). По теореме Пифагора: АВ^2 = OB^2 + OA^2 = 2OB^2 = 2OA^2.

1682 = 2OB^2 = 2OA^2.

ОВ = корень из (1682/2) = 29

ОА = корень из (11682/2) = 29

ответ:29