Щеңбердің центірімен а түзуіне деиінгі ара қашықтық 5см,ал bтүзуіне дейінгі ара қашықтық 7 см,шеңбер диаметрі 14 cм. шеңбердің әр түзуімен а b неше ортақ нүктесі болуы мүмкін.

1. Так как АС:ВС=4:3, то АС=4ч, ВС=3ч, ВD-высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.
Так как D-середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то DC=1/2АС=1/2*4х=2х
2. Треугольник ВDC-прямоугольный. По теореме Пифагора ВС^2=BD^2+DC^2
9x^2=400+4x^2
5x^2=400
x^2=80
x=корень из 80
х=4корней из 5
АС=4*4корне из 5=16корней из5
Вс=3*4корней из 5=12корней из 5
3. Так как точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности, то OD=r.
4. S=pr, r=S:p
S=1/2(АС*BD)=1/2 * 16 корней из 5 * 20 = 160 корней из 5
p=1/2 ((АВ+ВС+АС)=1/2(16 корней из 5 + 2 * 12 корней из 5)=1/2 * 40 корней из 5 = 20 корней из 5.
r=160 корней из 5 : 20 корней из 5 = 8
ответ: r=8 

По рисунку видно что AOBT - квадрат , со стороной равному радиусу , пусть радиус равен y.
Так же треугольники КАО и KTM подобны . Из подобия треугольников получаем 
5x/(5x+y)=y/(23/16 + y) . 

Так как 
KT^2+TM^2=KM^2
(5x+y)^2+(y+23/16)^2=KM^2 ; 

KO^2=(5x)^2+y^2

OM^2=y^2+(23/16)^2

отудого KM=KO+OM = √((5x)^2+y^2) + √(y^2+(23/16)^2) 

ставим в уравнение 
(5x+y)^2+(y+23/16)^2=KM^2 ; 
(5x+y)^2+(y+23/16)^2  = (√((5x)^2+y^2) + √(y^2+(23/16)^2))^2
решаем систему 

{(5x+y)^2+(y+23/16)^2  = (√((5x)^2+y^2) + √(y^2+(23/16)^2))^2
{5x/(5x+y)=y/(23/16 + y) 

получаем отудого x=23/80 
значит AK=5*23/80=23/16