Середины сторон правильного треугольника соединены отрезками. вычислите отношение радиусов окружностей: а) описанных около треугольников авс и мрк б) вписанных в треугольники авс и мрк. , эта влияет на оценку : (
А) Окружность, вписанная в ∆ABC, будет являться описанной для ∆MPK. У равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен R = a√3/3, а радиус вписанной - r = a√3/6. Тогда R/r = 2. Значит, радиусы описанных окружностей около ∆ABC и ∆MPK будут относиться как 2:1.
б) ∆MPK - это треугольник, образованный средними линиями => его периметр будет равен половине периметра ∆ABC. Кроме этого, ∆ABC~∆MPK и отсюда следует, что SABC/SMPK = k² = (1/2)² = 1/4. Радиус вписанной окружности находится по формуле: r = 2S/P, где S - площадь треугольника, P - периметр треугольника. Пусть r1 - радиус вписанной окружности в ∆ABC, r2 - в ∆MPK, S - площадь ∆MPK r1 = 2•4S/2•3a = 8S/6a = 4S/3a r2 = 2S/3a = 2S/3a r1/r2 = 2/1 = 2:1. ответ: а) 2:1; б) 2:1.
У равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен R = a√3/3, а радиус вписанной - r = a√3/6. Тогда R/r = 2. Значит, радиусы описанных окружностей около ∆ABC и ∆MPK будут относиться как 2:1.
б) ∆MPK - это треугольник, образованный средними линиями => его периметр будет равен половине периметра ∆ABC. Кроме этого, ∆ABC~∆MPK и отсюда следует, что SABC/SMPK = k² = (1/2)² = 1/4.
Радиус вписанной окружности находится по формуле:
r = 2S/P, где S - площадь треугольника, P - периметр треугольника.
Пусть r1 - радиус вписанной окружности в ∆ABC, r2 - в ∆MPK, S - площадь ∆MPK
r1 = 2•4S/2•3a = 8S/6a = 4S/3a
r2 = 2S/3a = 2S/3a
r1/r2 = 2/1 = 2:1.
ответ: а) 2:1; б) 2:1.