Построим сумму векторов а и b и их разность. ↑АС = ↑р = ↑а + ↑b ↑DB = ↑q = ↑a - ↑b Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А. ∠ЕАС - искомый. Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов: |↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49 |↑q| = 7 Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°. Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов: |↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129 |↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов: cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC) cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903 cos α = - 13√129/301
Расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр, опущенный из этой точки к плоскости. Следовательно АА₁⊥α, ВВ₁⊥α (смотри прикрепленный рисунок). Поскольку прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны плоскости α, то между собой они параллельны и образуют одну плоскость (через две параллельные прямые проходит плоскость и при чем только одна). Назовем ее β. Отрезок АВ тоже лежит в плоскости β, т. к. имеет с ней две общие точки (Если две точки прямой (отрезка) лежат в данной плоскости, то и вся прямая (отрезок) лежит в данной плоскости). Плоскость β пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Опустим из точки М перпендикуляр на плоскость α. ММ₁ будет параллельна прямым АА₁ и ВВ₁. Точка М₁ - точка пересечения ММ₁ с плоскостью α - будет лежать на прямой А₁В₁. (Это доказывается от противного. Если точка М₁ не лежит на прямой А₁В₁, то ММ₁ пересекает плоскость β. Поскольку ММ₁║АА₁, то и АА₁ тоже будет пересекать плоскость β. Получаем противоречие, т. к. АА₁ лежит в плоскости β. Значит Точка М₁ лежит на отрезке А₁В₁.) В плоскости β получаем четырехугольник АВА₁В₁, у которого две противоположные стороны параллельны. Следовательно этот четырехугольник - трапеция с основаниями АА₁ и ВВ₁. Так как основания трапеции перпендикулярны боковой стороне, то трапеция является прямоугольной. ММ₁ - средняя линия, т.к. М - середина отрезка АВ и параллельна основаниям. Значит и точка М₁ середина стороны А₁В₁. ответ: ММ₁ = 8 см.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129
Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301
Следовательно АА₁⊥α, ВВ₁⊥α (смотри прикрепленный рисунок).
Поскольку прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны плоскости α, то между собой они параллельны и образуют одну плоскость (через две параллельные прямые проходит плоскость и при чем только одна). Назовем ее β.
Отрезок АВ тоже лежит в плоскости β, т. к. имеет с ней две общие точки (Если две точки прямой (отрезка) лежат в данной плоскости, то и вся прямая (отрезок) лежит в данной плоскости).
Плоскость β пересекает плоскость α по прямой А₁В₁.
Опустим из точки М перпендикуляр на плоскость α.
ММ₁ будет параллельна прямым АА₁ и ВВ₁.
Точка М₁ - точка пересечения ММ₁ с плоскостью α - будет лежать на прямой А₁В₁.
(Это доказывается от противного. Если точка М₁ не лежит на прямой А₁В₁, то ММ₁ пересекает плоскость β. Поскольку ММ₁║АА₁, то и АА₁ тоже будет пересекать плоскость β. Получаем противоречие, т. к. АА₁ лежит в плоскости β. Значит Точка М₁ лежит на отрезке А₁В₁.)
В плоскости β получаем четырехугольник АВА₁В₁, у которого две противоположные стороны параллельны. Следовательно этот четырехугольник - трапеция с основаниями АА₁ и ВВ₁.
Так как основания трапеции перпендикулярны боковой стороне, то трапеция является прямоугольной.
ММ₁ - средняя линия, т.к. М - середина отрезка АВ и параллельна основаниям. Значит и точка М₁ середина стороны А₁В₁.
ответ: ММ₁ = 8 см.