ГЛАВА II. ТРЕУГОЛЬНИКИ. § 30. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА. Теорема 1. Против большей стороны в треугольнике лежит и больший угол. Пусть в /\ АВС сторона АВ больше стороны ВС. Докажем, что угол С, лежащий против большей стороны АВ, больше угла А, лежащего против меньшей стороны ВС (черт. 164). Отложим на стороне АВ от точки В отрезок ВD, равный стороне ВС, и соединим отрезком , точки D и С. Треугольник DВС равнобедренный. Угол ВDС равен углу ВСD, так как они лежат против равных сторон в треугольнике. Угол ВDС — внешний угол треугольника АDС, поэтому он больше угла А. Так как / ВСD = / ВDС, то и угол ВСD больше угла А: / ВСD > / A. Но угол ВСD составляет только часть всего угла С, поэтому угол С будет и подавно больше угла A. Доказать самостоятельно ту же теорему по чертежу 165, когда ВD = АВ. В § 18 мы доказали, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, т. е. в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Докажем теперь обратные теоремы. Теорема 2. Против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны. Пусть в /\ AВС / A = / С (черт. 166). Докажем, что AВ = ВС, т. е. треугольник АBС равнобедренный. Между сторонами АВ и ВС может быть только одно из трёх следующих соотношений: 1) АВ > ВС; 2) АВ < ВС; 3) АВ = ВС. Если бы сторона AВ была больше ВС, то угол С был бы больше угла A, но это противоречит условию теоремы, следовательно, АВ не может быть больше ВС. Точно так же АВ не может быть меньше ВС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла A. Следовательно, возможен только третий случай, т. е. АВ = ВС Итaк, мы доказали: против равных углов в треугольнике лежат и равные стороны. Теорема 3. Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Пусть в треугольнике АВС (черт. 167) / C >/ B Докажем, что АВ > АС. Здесь также может быть одно из трёх следующих соотношений: 1) АВ = АС; 2) АВ < АС; 3) АВ > АС. Если бы сторона АВ была равна стороне АС, то / С был бы равен / В. Но это противоречит условию теоремы. Значит, АВ не может равняться АС Точно так же АВ не может быть меньше АС, так как в этом случае угол С был бы меньше угла B, что также противоречит данному условию. Следовательно, возможен только один случай, а именно: АВ > АС. Мы доказали: против большего угла в треугольнике лежит и большая сторона. Следствие. В прямоугольном треугольнике. гипотенуза больше любого из его катетов.
Боковые стороны трапеции лежат на прямых a и b. Эти прямые не параллельны и лежат в одной плоскости, значит, они пересекаются. Тогда через эти прямые можно провести единственную плоскость, обозначим её за β. Плоскость β и будет плоскостью трапеции, так как все 4 вершины трапеции лежат на прямых a и b и лежат в β.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Из того, что прямая a параллельна плоскости α, следует, что в плоскости α существует прямая a', такая, что a || a'. Аналогично, из параллельности b и α следует, что в α существует прямая b', такая, что b || b', При этом a' и b' не совпадают, так как a и b не параллельны.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Из того, что a || a' и b || b' и того, что a и b пересекаются, следует, что α || β, что и требовалось доказать.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости. Из того, что прямая a параллельна плоскости α, следует, что в плоскости α существует прямая a', такая, что a || a'. Аналогично, из параллельности b и α следует, что в α существует прямая b', такая, что b || b', При этом a' и b' не совпадают, так как a и b не параллельны.
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Из того, что a || a' и b || b' и того, что a и b пересекаются, следует, что α || β, что и требовалось доказать.