Таким образом, получили, что a1 = b1 = 9/2 и a2 = b2 = -1/2.
Теперь, подставляем найденные значения a и b в уравнение окружности:
(x - 9/2)^2 + (y - 9/2)^2 = 10.
Таким образом, уравнение окружности, радиус которой равен корень из 10 и которая проходит через точки М(-2; 1) и К(-4; -1), имеет вид:
(x - 9/2)^2 + (y - 9/2)^2 = 10.
Для начала, уравнение окружности имеет следующий вид:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2,
где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.
Зная, что радиус равен корень из 10, подставим его в уравнение:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = (√10)^2,
(x - a)^2 + (y - b)^2 = 10.
Осталось найти координаты центра окружности (a, b). Для этого воспользуемся данными, что окружность проходит через точки М(-2; 1) и К(-4; -1).
Пусть центр окружности имеет координаты (a, b). Тогда, следующие уравнения должны выполняться:
(-2 - a)^2 + (1 - b)^2 = 10,
(-4 - a)^2 + (-1 - b)^2 = 10.
Раскрываем скобки и приводим уравнения к каноническому виду:
(-2 - a)^2 = (2 + a)^2 = 4 + 4a + a^2,
(1 - b)^2 = 1 - 2b + b^2.
(-4 - a)^2 = (4 + a)^2 = 16 + 8a + a^2,
(-1 - b)^2 = 1 + 2b + b^2.
Подставляем полученные значения в уравнение окружности:
(2 + a)^2 + (1 - b)^2 = 10,
(4 + a)^2 + (-1 - b)^2 = 10.
Раскрываем скобки и приводим уравнения к каноническому виду:
4 + 4a + a^2 + 1 - 2b + b^2 = 10,
16 + 8a + a^2 + 1 + 2b + b^2 = 10.
Сокращаем и объединяем подобные члены:
a^2 + b^2 + 4a - 2b - 5 = 0,
a^2 + b^2 + 8a + 2b + 5 = 0.
Объединяем уравнения:
a^2 + b^2 + 4a - 2b - 5 = a^2 + b^2 + 8a + 2b + 5.
Отсюда получаем:
4a - 2b = 8a + 2b,
2b + 2b = 8a - 4a,
4b = 4a,
b = a.
Подставляем значение b в одно из уравнений:
a^2 + a^2 + 4a - 2a - 5 = 0,
2a^2 + 2a - 5 = 0.
Находим значения a с помощью квадратного уравнения:
D = (2a)^2 - 4 * 2 * (-5) = 4a^2 + 40 = 4(a^2 + 10).
Так как D > 0, у уравнения есть два корня:
a1 = (-2 + √(4(a^2 + 10))) / (2 * 2) = (-2 + 2√(a^2 + 10)) / 4 = -1/2 + √(a^2 + 10) / 2,
a2 = (-2 - √(4(a^2 + 10))) / (2 * 2) = (-2 - 2√(a^2 + 10)) / 4 = -1/2 - √(a^2 + 10) / 2.
Таким образом, есть два возможных значения для a: -1/2 + √(a^2 + 10) / 2 и -1/2 - √(a^2 + 10) / 2.
Подставляем значения a1 и a2 в уравнение a = b:
-1/2 + √(a1^2 + 10) / 2 = a1 => √(a1^2 + 10) = 1 + a1,
(a1^2 + 10) = (1 + a1)^2,
a1^2 + 10 = 1 + 2a1 + a1^2,
10 - 1 = 2a1,
9 = 2a1,
a1 = 9/2.
Проверяем, выполняется ли уравнение:
-1/2 + √((9/2)^2 + 10) / 2 = 9/2,
-1/2 + √(81/4 + 40/4) / 2 = 9/2,
-1/2 + √(121/4) / 2 = 9/2,
-1/2 + 11/2 / 2 = 9/2.
Таким образом, получили, что a1 = b1 = 9/2 и a2 = b2 = -1/2.
Теперь, подставляем найденные значения a и b в уравнение окружности:
(x - 9/2)^2 + (y - 9/2)^2 = 10.
Таким образом, уравнение окружности, радиус которой равен корень из 10 и которая проходит через точки М(-2; 1) и К(-4; -1), имеет вид:
(x - 9/2)^2 + (y - 9/2)^2 = 10.