СПАТЬ ХОЧУ НО СКАЗАЛИ ДЕЛАТЬ (((

1 Прямая пересекает одну прямую под углом 120, вторую под углом 130. Параллельны ли эти прямые? Если пересекаются, то с какой стороны от секущей? Сделать чертеж, вычислить углы.

2 Два угла треугольника равны 300 и 1200. Определить вид треугольника по углам и по сторонам.

3 В каких пределах может меняться длина третьей стороны треугольника, если одна сторона равна 12 см, вторая 14 см? Может ли меняя длину третьей стороны получить тупоугольный треугольник?

4 Отрезки АВ и СD пересекаются в точке М. АМ=МВ, угол А равен углу В. Докажите равенство треугольников АМС и ВМD. Сделать чертеж.

5 В прямоугольном треугольнике катет равен 3,5 см, гипотенуза 7см. Вычислить углы треугольника. Сделать чертеж.

6 В равнобедренном прямоугольном треугольнике проведена медиана СМ из вершины прямого угла С. Докажите равенство получившихся треугольников по первому признаку. Сделать чертеж.

7 Радиусы двух окружностей равны 2 и 4. Во сколько раз длина второй окружности больше длины первой?

1) DB - диагональ ромба ⇒ DB биссектриса ∠ADC ⇒ ∠ADB = ∠BDC = 60°

2) ∠DBC = ∠ADB = 60° (тк внутренние накрест лежащие при AD ║ BC и сек. BD)

3) DB - биссектриса ∠ABC (по св-ву диагоналей ромба) ⇒ ∠ABD = ∠DBC = 60°

∠ADB = ∠BDC = ∠ABD =  ∠DBC = 60°  ⇒ ∠A + ∠C = 360° - ( ∠ADB + ∠BDC + ∠ABD + ∠DBC ) = 360° - 240° = 120° ⇒ ∠A = ∠C (тк ABCD - ромб и параллелограмм, а ∠A и ∠C - противолеж) = 120° : 2 = 60°

ΔADB и ΔDBC - равносторонние (тк их углы равны 60°) ⇒ AB = AD=DC = BC = BD = 3 см

Периметр = AB + AD + DC + BC = 3+3+3+3 = 12 см

ответ: P = 12 см

Даны вершины пирамиды А(3,-5,5), В(-5,1,0), С(3,0,5), D(1,-1,4).

1) Находим векторы ВА и ВС.

ВА = (3+5=8; -5-1=-6; 5-0=5) = (8; -6; 5).

Модуль равен √(64+36+25) = √125 = 5√5.

ВС = (3+5=8;0-1=-1; 5-0=5) = (8; -1; 5).

Модуль равен √(64+1+25) = √90 = 3√10.

cos B = (8*8+(-1)*(-6)+5*5)/(5√5*3√10) = 95/(75√2) = 19√2/30 ≈ 0,896.

∠B = arc cos 0,896 = 0,46086 радиан = 26,406 градуса.

2) Площадь треугольника ABС равна половине модуля векторного произведения ВА(8; -6; 5) на ВС(8; -1; 5).

Применим треугольную схему.

i              j             k |             i               j

8            -6           5 |            8             -6

8            -1            5 |            8             -1   =

= -30i + 40j - 8k - 40j + 5i + 48k = -25i + 0j + 40k = (-25; 0; 40).

Модуль равен √(625 + 0 + 1600) = √2225 = 5√89.

Площадь АВС равна (1/2)*5√89 = 5√89/2 ≈ 23,585 кв.ед.

3) Объём пирамиды равен (1/6) смешанного произведения (ВАхВС)*BD.

Находим вектор BD: В(-5,1,0),  D(1,-1,4) = (1+5=6; -1-1=-2; 4-0=4) = (6; -2; 4).

BAxBC = (-25; 0; 40)

V = (1/6)*(-150+0+160) = 10/6 = 5/3 ≈ 1,67 куб.ед.