Из первого выражаете BM=1/AM. Подставляете во второе: BM+1/BM=a
У вас получается, что сумма обратных чисел равна какому-то параметру а. Сразу надо сказать, что a больше или равен 2. Если он меньше 2 вы НЕ разложите отрезок на то, что вас спрашивают. Далее. Пусть a больше или равен 2. Значит, приведя все к общему знаменателю и домножив на BM, вы получите квадратное уравнение вида: Кстати, тут тоже видно, что если a<2, то дискриминант отрицателен. Если a=2, то вы получите единственный корень и будет существовать ОДНА точка M, которая удовлетворяет условию задачи. Когда дискриминант строго положителен у вас ВСЕГДА будет 2 корня в уравнении. Это значит, что точку M можно взять ровно в ДВУХ местах на отрезке AB, чтобы задача имела смысл.
Теперь рассмотри второй вариант. То есть M не между А и В, а снаружи, т.к. в условии задачи говорится о ПРЯМОЙ AB. Тогда система приобретает вид: AM-BM=a (1) AM*BM=a (2) Опять же, выразив из второй системы BM, получается: BM-1/BM=a Приведем к общему знаменателю, домножим на BM и пусть BM=k: -ak-1=0 D=+4 Дискриминант всегда будет положительным. Далее смотрим корни: (a+-)/2 Один из корней ВСЕГДА будет меньше нуля. Просто потому, что если сравнить а и корень из а в квадрате плюс четыре будет вылезать эта четверка. Причем это для ЛЮБОГО значения а, то есть не важно какой оно. У нас всегда будет 1 корень в этом случае. Причем стоит заметить, что если мы нашли таким то AM будет обратной величиной. Это один из вариантов. Если вместо BM выражать AM, то получатся обратные полученным значениям величины. То есть в случае расположения точки M вне отрезка AB на прямой AB, мы получим еще 2 варианта к дополнению первого случая. (Грубо говоря на отрезке, если читать слева направо, AB вы берете точку M сначала слева, а потом справа). Соотнося с первым случаем, получается: а от нуля до двух строго: ответ 2 а равно 2: ответ 3 а больше двух строго: ответ 4
Тут вся хитрость в том, что угол между хордами равен полусумме дуг между концами хорд. То есть полусумма дуг A1D1 и B1C1 равна 90°; это означает, что ∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°; Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому ∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1; легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°; то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник. Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому ∠A1AO + ∠B1CO = 90°; из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны. Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO; Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и ∠DOC1 = ∠B1BO; Из этого подобия получается два соотношения B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24; BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12; Отсюда стороны ABCD равны AB = 18 + 4*12 = 66; BC = 32 + 4*12 = 80; CD = 32 + 12 = 44; AD = 18 + 12 = 30;
AM+BM=a (2)
Из первого выражаете BM=1/AM. Подставляете во второе:
BM+1/BM=a
У вас получается, что сумма обратных чисел равна какому-то параметру а. Сразу надо сказать, что a больше или равен 2. Если он меньше 2 вы НЕ разложите отрезок на то, что вас спрашивают. Далее. Пусть a больше или равен 2.
Значит, приведя все к общему знаменателю и домножив на BM, вы получите квадратное уравнение вида:
Кстати, тут тоже видно, что если a<2, то дискриминант отрицателен. Если a=2, то вы получите единственный корень и будет существовать ОДНА точка M, которая удовлетворяет условию задачи. Когда дискриминант строго положителен у вас ВСЕГДА будет 2 корня в уравнении. Это значит, что точку M можно взять ровно в ДВУХ местах на отрезке AB, чтобы задача имела смысл.
Теперь рассмотри второй вариант. То есть M не между А и В, а снаружи, т.к. в условии задачи говорится о ПРЯМОЙ AB.
Тогда система приобретает вид:
AM-BM=a (1)
AM*BM=a (2)
Опять же, выразив из второй системы BM, получается:
BM-1/BM=a
Приведем к общему знаменателю, домножим на BM и пусть BM=k:
D=
Дискриминант всегда будет положительным.
Далее смотрим корни:
(a+-
Один из корней ВСЕГДА будет меньше нуля. Просто потому, что если сравнить а и корень из а в квадрате плюс четыре будет вылезать эта четверка. Причем это для ЛЮБОГО значения а, то есть не важно какой оно. У нас всегда будет 1 корень в этом случае. Причем стоит заметить, что если мы нашли таким то AM будет обратной величиной. Это один из вариантов. Если вместо BM выражать AM, то получатся обратные полученным значениям величины. То есть в случае расположения точки M вне отрезка AB на прямой AB, мы получим еще 2 варианта к дополнению первого случая. (Грубо говоря на отрезке, если читать слева направо, AB вы берете точку M сначала слева, а потом справа). Соотнося с первым случаем, получается:
а от нуля до двух строго: ответ 2
а равно 2: ответ 3
а больше двух строго: ответ 4
∠A1OD1 + ∠B1OC1 = 180°;
Все четырехугольники типа AA1OD1 имеют два прямых угла, поэтому
∠BAD = 180° - ∠A1OD1; ∠BCD = 180° - ∠B1OC1;
легко видеть, что получилось ∠BAD + ∠BCD = 180°;
то есть ABCD - не только описанный, но и вписанный четырехугольник.
Все отрезки типа AO (то есть соединяющие центр вписанной окружности с вершинами) - биссектрисы соответствующих углов. Поэтому
∠A1AO + ∠B1CO = 90°;
из чего следует, что прямоугольные треугольники AA1O и B1OC - подобны.
Я на чертеже отметил равные углы. ∠BOC = ∠A1AO;
Точно также получается, что подобны треугольники OBB1 и ODD1; и
∠DOC1 = ∠B1BO;
Из этого подобия получается два соотношения
B1C/B1O = A1O/A1A; то есть 32/R = R/18; или R = 24;
BB1/OB1 = OC1/C1D; или 4*x/R = R/x; 2*x = R; x = 12;
Отсюда стороны ABCD равны
AB = 18 + 4*12 = 66;
BC = 32 + 4*12 = 80;
CD = 32 + 12 = 44;
AD = 18 + 12 = 30;