Сторона основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см, а бічна грань нахилена до площини основи під кутом 60°. Знайдіть об’єм піраміди.
До іть

∠ALB = 120°.

Объяснение:

Дано: BL - медиана, BH⊥AC,BH - высота ,∠ACB = 60°,  AC = 16, HC = 4

Найти:  ∠ALB - ?

Решение: Так как BL - медиана по условию, то AL = LC = AC : 2 = 16 : 2 = 8.

LC = LH + HC ⇒ LH = LC - HC = 8 - 4 = 4.Треугольник ΔLHB = ΔCHB по первому признаку равенства треугольников так как, LH = HC = 4см, ∠LHB = ∠CHB = 90° так как по условию BH - высота, а сторона BH - общая для треугольников. Так как треугольник ΔLHB = ΔCHB, то соответствующие элементы треугольников равны, тогда ∠ACB = ∠BLC и ∠BLC = 60°.

Угол ∠ALB и ∠BLC - смежные, по свойству смежных углов их сумма 180°, тогда ∠ALB + ∠BLC = 180° ⇒ ∠ALB = 180° - ∠BLC = 180° - 60° = 120°.

Дано:

АВСА1В1С1 - прямая призма

АВ = 3 см

АС = 8 см

АА1 = 15 см - высота призмы

Найти:

S(бок) , S(полн) , V.

Решение.

Запишем уравнение теоремы косинусов

a^2 = b^2 + c^2 + 2bc*cos(a)

Рассмотри треушольник АВС. По теореме косинусов имеем

ВС^2 = AC^2 + AB^2 - 2*AC*AB*cos(60) =

= 8^2 + 3^2 - 2*8*3*0,5 =

= 64 + 9 - 24 =

= 49

тогда ВС = 7 см

Площадь боковой поверхности S(бок) прямой призмы

S(бок) = АА1*(АВ + АС + ВС) =

= 15(3 + 8 + 7) =

= 270 см^2

Найдем площадь основания S(осн) как площадь треугольника по двум сторонам и синус угла между ними

S(осн) = 0,5*АВ*АС*sin(60) =

= 0.5*3*8*кор (3)/2 =

= 6*кор (3) см^2

Полщадь полной поверхности S(полн) прямой призмы

S(полн) = S(бок) + S(осн) =

= 270 + 6*кор (3) см^2

Объем V прямой призмы

V = S(осн) *h =

= 6*кор (3)*15 =

= 90*кор (3) см^3

ответ: S(бок) = 270 см^2, S(полн) = 270 + 6*кор (3) см^2, V = 90*кор (3) см^3.