Стороны треугольника 5 см, 7 см и 8 см. Найдите градусную меру среднего по велечине угла треугольника.​

В решении используется свойство треугольников, имеющих общую высоту: площади треугольников, имеющих общую высоту относятся как основания, к которым проведена эта высота.
Сами общие высоты на рисунках не проведены.

ΔВОК и ΔВОС имеют общую высоту (из вершины В):
Sbok : Sboc = OK : OC = 10 : 45 = 2 : 9

ΔСОВ и ΔCOD имеют общую высоту (из вершины С):
Scob : Scod = BO : OD = 45 : 54 = 5 : 6

Проведем ВЕ║АС до пересечения с прямой СК.
.
ΔЕВО подобен ΔСВО по двум углам:
ЕО : ОС = ВО : OD
EO = (OC · BO) / OD
EO = (5x · 9y) / (6x ) = 45y / 6 = 15y /2

EK = EO - KO = 15y / 2 - 2y = 11y / 2

ΔEBK подобен ΔСАК по двум углам:
ВК : КА = ЕК : КС = (11y/2) : (11y) = 1 : 2

ΔCBK  и ΔСАК имеют общую высоту (из вершины С):
Scbk : Scak = BK : KA = 1 : 2

Scak = 2 · Scbk = 2 · 55 = 110

Sabc = Scbk + Scak = 55 + 110 = 165

В правильном шестиугольнике, вписанном в окружность, сторона равна радиусу этой окружности. Следовательно, задача сводится к нахождению радиуса окружности, в которую вписан квадрат с периметром 84 мм.  У квадрата, вписанного в окружность, диагональ является и диаметром окружности. Следовательно, искомый радиус окружности равен половине её диаметра и равен половине диагонали вписанного квадрата. А диагональ квадрата найдем по теореме Пифагора.  Сторона квадрата равна периметр деленный на 4 т.е. 84/4 = 21 мм. Диагональ квадрата = корень квадратный из 21^2 + 21^2 = корень квадратный из 2*21^2 = 21 * корень из 2. Это диагональ. А радиус в два раза меньше и =(21*корень из2)/2 = 21/корень из 2.   Как сказано выше сторона шестиугольника равна радиусу окружности. Следовательно, периметр шестиугольника = 6*21/корень из 2 = 126/корень из 2  мм