Даны вершины четырехугольника: A(1;5), B(3;1), C(1;-3) и D(-1;1). Сторона АВ (модуль вектора): |АВ|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20. Сторона DC: |DC|=√[(1-(-1))²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20. Противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны (по признаку - отношения их координат АВ{2;-4} и DC{2;-4} равны: 2/2=-4/-4=1). Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон. Найдем стороны AD и ВС (достаточно стороны AD, так как в параллелограмме противоположные стороны равны). |AD|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20. Итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны). Следовательно, в него можно вписать окружность. Уточним. Если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат. Условие перпендикулярности векторов: векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: Xa*Xb + Ya*Yyb = 0 . У нас вектор АВ{2;-4}, вектор ВС{-2;-4}. Тогда -4+16 не равно нулю. Значит АВСD - ромб. Диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами. Найдем расстояние от вершины В(3;1) до прямой AD. Уравнение прямой AD: (X-Xa)/(Xd-Xa)=(Y-Ya)/(Yd-Ya) => (X-1)/(-2)=(Y-5)/(-4) - каноническое уравнение. Отсюда 2X-Y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами А=2, В=-1, С=3. Искомое расстояние (по формуле): d=|A*Xb+B*Yb+C|/√(A²+B²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5. Это диаметр. Радиус R=4/√5. Центр (О) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба. Например, на середине диагонали BD. Найдем этот центр: О(1;1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали). Тогда уравнение окружности (X-Xc)²+(Y-Yc)²=R²: (X-1)²+(Y-1)²=3,2.
Такс, с чего начать. Вообще радиус окружности считается по формуле r=p-c, где p -полупериметр треугольника в нашем случае, с - гипотенуза треугольника. Проведем высоту BH. Треугольник ABH - прямоугольный. Т.к. по условию задачи угол BAH = 30 градусов, то BH = 1\2 AB = 5 см. По теореме Пифагора: AH2=Ab2 - BH2 AH = корень из 75 = 5 корней из 3 см. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то BH - высота, медиана, значит AH = HC AC = AH+HC = 10 корней из 3 см. p = 1\2 P = AB+BC+AC = (10+10+10 корней из 3) :2 = 10 корней из 3 см2. Найдем радиус: r = 10 корней из 3 - 10 = 10 - 10 корней из 3 см.
Сторона АВ (модуль вектора): |АВ|=√[(3-1)²+(1-5)²] =√(4+16)=√20.
Сторона DC: |DC|=√[(1-(-1))²+(-3-1)²]=√(4+16)=√20.
Противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны
(по признаку - отношения их координат АВ{2;-4} и DC{2;-4} равны:
2/2=-4/-4=1).
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы он был выпуклым и имел равные суммы противоположных сторон.
Найдем стороны AD и ВС (достаточно стороны AD, так как в параллелограмме противоположные стороны равны).
|AD|= √[(-1-1))²+(1-5)²]=√(4+16)=√20.
Итак, наш четырехугольник ромб или квадрат (все стороны равны).
Следовательно, в него можно вписать окружность.
Уточним. Если в ромбе один из углов прямой, то это квадрат.
Условие перпендикулярности векторов:
векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их
скалярное произведение равно нулю: Xa*Xb + Ya*Yyb = 0 . У нас
вектор АВ{2;-4}, вектор ВС{-2;-4}. Тогда -4+16 не равно нулю. Значит
АВСD - ромб.
Диаметр вписанной окружности - отрезок, равный расстоянию между противоположными сторонами.
Найдем расстояние от вершины В(3;1) до прямой AD.
Уравнение прямой AD:
(X-Xa)/(Xd-Xa)=(Y-Ya)/(Yd-Ya) =>
(X-1)/(-2)=(Y-5)/(-4) - каноническое уравнение. Отсюда
2X-Y+3=0 - общее уравнение с коэффициентами
А=2, В=-1, С=3.
Искомое расстояние (по формуле):
d=|A*Xb+B*Yb+C|/√(A²+B²) = |6+(-1)+3|/√5 =8/√5.
Это диаметр.
Радиус R=4/√5.
Центр (О) окружности расположен на середине любой из диагоналей ромба. Например, на середине диагонали BD. Найдем этот центр:
О(1;1) (как находить координаты середины отрезка, мы уже показали).
Тогда уравнение окружности (X-Xc)²+(Y-Yc)²=R²:
(X-1)²+(Y-1)²=3,2.
Проведем высоту BH.
Треугольник ABH - прямоугольный. Т.к. по условию задачи угол BAH = 30 градусов, то BH = 1\2 AB = 5 см.
По теореме Пифагора: AH2=Ab2 - BH2
AH = корень из 75 = 5 корней из 3 см.
Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то BH - высота, медиана, значит AH = HC
AC = AH+HC = 10 корней из 3 см.
p = 1\2 P = AB+BC+AC = (10+10+10 корней из 3) :2 = 10 корней из 3 см2.
Найдем радиус: r = 10 корней из 3 - 10 = 10 - 10 корней из 3 см.