Тема: четыре замечательных точки треугольника. : начертить четыре треугольника и в них показать точку пересечения биссектрис, медиан ,серединных перпендикуляров, высот треугольника.

Отрезок ВМ (точно так же, как и отрезок АМ) не может быть равен полусумме двух других отрезков гипотенузы, так как МН+НА=ВМ и АМ=ВМ(СМ - медиана).  (смотрим рисунок)
Следовательно, нас интересует два возможных варианта:
МН=(ВМ+НА)/2 (1) и НА=(ВМ+МН)/2 (2).
Мы знаем, что катет ВС=√(АВ*ВН) и АС=√(АВ*НА) (вытекает из свойства высоты, проведенной из прямого угла на гипотенузу).
Тогда отношение катетов АС/ВС=√[(АВ*НА)/(АВ*ВН)] или АС/ВС=√(НА/ВН).
Итак, нам надо найти это отношение.
1). Пусть МН=(ВМ+НА)/2. Но МН=МА-НА или МН=ВМ-НА (так как ВМ=МА).
Отсюда (ВМ+НА)/2=ВМ-НА или 2ВМ-2НА=ВМ+НА или ВМ=3НА.
Тогда АВ=6НА (АВ=2*ВМ), а ВН=5НА (ВН=АВ-НА).
Искомое отношение АС/ВС=√(НА/5НА)=1/√5 или АС/ВС=√5/5.
2). Пусть НА=(ВМ+МН)/2. ВМ+МН=ВС. То есть НА=ВС/2.
Искомое отношение АС/ВС=√(ВС/2ВС)=1/√2 или АС/ВС=√2/2.
ответ: отношение катетов может быть равным
АС/ВС=√5/5 или АС/ВС=√2/2.

Прочее:

AO = OD - радиус основания
KO - высота
AD - диаметр основания

Дано:

BD = 12 (см)
∠ D = 45

Найти: V

Решение:

1. С прямоугольного треугольника АВД (∠ВАД = 90), определяем диаметр основания АД

Косинус угла Д это отношение прилежащего катета к гипотенузе

Cos ∠D = AD/BD 

AD = cos 45 * BD = √2/2 * 12 = 6√2 (см).

А радиус основания равен половине диаметру

AO = AD/2 = 6√2 / 2 = 3√2 (см),

2. Определяем высоту KO

Sin ∠ D = OK/BD

OK = sin45 * BD = √2/2 * 12 = 6√2 (см)

4. Определяем объём 

V = πr²h = π * (3√2)² * 6√2 = 108π√2 (см³).

ответ: 108π√2 (см³).